如圖所示，在直四稜柱ABCD­A1B1C1D1中，底面是邊長為的正方形，AA1＝3，點E在稜B1B上運動．(1...

問題詳情：

如圖所示，在直四稜柱ABCD ­ A1B1C1D1中，底面是邊長為的正方形，AA1＝3，點E在稜B1B上運動．

(1)*：AC⊥D1E；

(2)當三稜錐B1­A1D1E的體積為時，求異面直線AD，D1E所成的角．

【回答】

 [解析](1)*：連線BD，

因為ABCD為正方形，所以AC⊥BD，

因為B1B⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，

所以B1B⊥AC.

又因為B1B∩BD＝B，

所以AC⊥平面B1BDD1.

因為D1E⊂平面B1BDD1，

所以AC⊥D1E.

(2)因為V三稜錐B1­A1D1E＝V三稜錐E­A1B1D1，EB1⊥平面A1B1C1D1.

所以V三稜錐E­A1B1D1＝S△A1B1D1·EB1.

又因為S△A1B1D1＝A1B1·A1D1＝1，

所以V三稜錐E­A1B1D1＝EB1＝，

所以EB1＝2.

因為AD∥A1D1，所以∠A1D1B1為異面直線AD，D1E所成的角．

在Rt△EB1D1中，可求得ED1＝2.

因為D1A1⊥平面A1ABB1，所以D1A1⊥A1E.

在Rt△EA1D1中，cos∠A1D1E＝＝，所以∠A1D1E＝60°，所以異面直線AD，D1E所成的角為60°.

知識點：點 直線 平面之間的位置

題型：解答題