如圖1，拋物線C1：y＝ax2－2ax＋c(a＜0)與x軸交於A，B兩點，與y軸交於點C.已知點A的座標為(－...

問題詳情：

如圖1，拋物線C1：y＝ax2－2ax＋c(a＜0)與x軸交於A，B兩點，與y軸交於點C.已知點A的座標為(－1，0)，點O為座標原點，OC＝3OA，拋物線C1的頂點為G.

(1)求出拋物線C1的表示式，並寫出點G的座標；

(2)如圖2，將拋物線C1向下平移k(k＞0)個單位，得到拋物線C2，設C2與x軸的交點為A′，B′，頂點為G′，當△A′B′G′是等邊三角形時，求k的值；

(3)在(2)的條件下，如圖3，設點M為x軸正半軸上一動點，過點M作x軸的垂線分別交拋物線C1，C2於P，Q兩點，試探究在直線y＝－1上是否存在點N，使得以P，Q，N為頂點的三角形與△AOQ全等，若存在，直接寫出點M，N的座標：若不存在，請說明理由．

【回答】

解：(1)∵點A的座標為(－1，0)，∴OA＝1.

∵OC＝3OA，∴點C的座標為(0，3)．

將A，C點座標代入y＝ax2－2ax＋c得

∴拋物線C1的表示式為y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，

∴點G的座標為(1，4)．

(2)設拋物線C2的表示式為y＝－x2＋2x＋3－k，

即y＝－(x－1)2＋4－k.

如圖，過點G′作G′D⊥x軸於點D，

設B′D＝m.

∵△A′B′G′為等邊三角形，

∴G′D＝B′D＝m，

則點B′的座標為(m＋1，0)，點G′的座標為(1，m)．

將點B′，G′的座標代入y＝－(x－1)2＋4－k得

解得 (捨去)或

∴k＝1.

(3)存在．M1(，0)，N1(，－1)；M2(，0)，N2(1，－1)；M3(4，0)，N3(10，－1)；M4(4，0)，N4(－2，－1)．

知識點：二次函式與一元二次方程

題型：解答題