.設f（x）=log2-x為奇函式，a為常數．（1）求a的值；（2）判斷並*函式f（x）在x∈（1，+∞）...

問題詳情：

.設f（x）=log2-x為奇函式，a為常數．（1）求a的值；（2）判斷並*函式f（x）在x∈（1，+∞）時的單調*；（3）若對於區間[2，3]上的每一個x值，不等式f（x）＞2x+m恆成立，求實數m取值範圍．

【回答】

解：（1）由條件得：f（-x）+f（x）=0， ∴，化簡得（a2-1）x2=0，因此a2-1=0，a=±1，當a=1時，，不符合題意，因此a=-1．經檢驗，a=-1時，f(x)是奇函式. （2）判斷函式f（x）在x∈（1，+∞）上為單調減函式； *如下：設1＜x1＜x2＜+∞，， ∵1＜x1＜x2＜+∞， ∴x2-x1＞0，x1±1＞0，x2±1＞0， ∵(x1+1)(x2-1)-(x1-1)(x2+1) =x1x2-x1+x2-1-x1x2-x1+x2+1 =2(x2-x1)＞0，又∵(x1+1)(x2-1)＞0，(x1-1)(x2+1)＞0， ∴，，又x2-x1＞0， ∴f(x1)-f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)， ∴函式f(x)在x∈(1，+∞)上為單調減函式；（3）不等式為m＜f(x)-2x恆成立， ∴m＜[f(x)-2x]min ∵f(x)在x∈[2，3]上單調遞減，2x在x∈[2，3]上單調遞增， ∴f(x)-2x在x∈[2，3]上單調遞減，當x=3時取得最小值為-10， ∴m∈.