如圖，等邊三角形ABC邊長是定值，點O是它的外心，過點O任意作一條直線分別交AB，BC於點D，E，將△BDE沿...

問題詳情：

如圖，等邊三角形ABC邊長是定值，點O是它的外心，過點O任意作一條直線分別交AB，BC於點D，E，將△BDE沿直線DE摺疊，得到△B′DE，若B′D，B′E分別交AC於點F，G，連線OF，OG，則下列判斷錯誤的是（　　）

A．△ADF≌△CGE

B．△B′FG的周長是一個定值

C．四邊形FOEC的面積是一個定值

D．四邊形OGB'F的面積是一個定值

【回答】

D

【解析】

分析：A、根據等邊三角形ABC的外心的*質可知：AO平分∠BAC，根據角平分線的定理和逆定理得：FO平分∠DFG，由外角的*質可*∠DOF=60°，同理可得∠EOG=60°，∠FOG=60°=∠DOF=∠EOG，可*△DOF≌△GOF≌△GOE，△OAD≌△OCG，△OAF≌△OCE，可得AD=CG，AF=CE，從而得△ADF≌△CGE；

B、根據△DOF≌△GOF≌△GOE，得DF=GF=GE，所以△ADF≌△B'GF≌△CGE，可得結論；

C、根據S四邊形FOEC=S△OCF+S△OCE，依次換成面積相等的三角形，可得結論為：S△AOC=S△ABC（定值），可作判斷；

D、方法同C，將S四邊形OGB'F=S△OAC-S△OFG，根據S△OFG=•FG•OH，FG變化，故△OFG的面積變化，從而四邊形OGB'F的面積也變化，可作判斷．

詳解：A、連線OA、OC，

∵點O是等邊三角形ABC的外心，

∴AO平分∠BAC，

∴點O到AB、AC的距離相等，

由摺疊得：DO平分∠BDB'，

∴點O到AB、DB'的距離相等，

∴點O到DB'、AC的距離相等，

∴FO平分∠DFG，

∠DFO=∠OFG=（∠FAD+∠ADF），

由摺疊得：∠BDE=∠ODF=（∠DAF+∠AFD），

∴∠OFD+∠ODF=（∠FAD+∠ADF+∠DAF+∠AFD）=120°，

∴∠DOF=60°，

同理可得∠EOG=60°，

∴∠FOG=60°=∠DOF=∠EOG，

∴△DOF≌△GOF≌△GOE，

∴OD=OG，OE=OF，

∠OGF=∠ODF=∠ODB，∠OFG=∠OEG=∠OEB，

∴△OAD≌△OCG，△OAF≌△OCE，

∴AD=CG，AF=CE，

∴△ADF≌△CGE，

故選項A正確；

B、∵△DOF≌△GOF≌△GOE，

∴DF=GF=GE，

∴△ADF≌△B'GF≌△CGE，

∴B'G=AD，

∴△B'FG的周長=FG+B'F+B'G=FG+AF+CG=AC（定值），

故選項B正確；

C、S四邊形FOEC=S△OCF+S△OCE=S△OCF+S△OAF=S△AOC=S△ABC（定值），

故選項C正確；

D、S四邊形OGB'F=S△OFG+S△B'GF=S△OFD+△ADF=S四邊形OFAD=S△OAD+S△OAF=S△OCG+S△OAF=S△OAC-S△OFG，

過O作OH⊥AC於H，

∴S△OFG=•FG•OH，

由於OH是定值，FG變化，故△OFG的面積變化，從而四邊形OGB'F的面積也變化，

故選項D不一定正確；

故選D．

點睛：本題考查了等邊三角形的*質、三角形全等的*質和判定、角平分線的*質和判定、三角形和四邊形面積及周長的確定以及摺疊的*質，有難度，本題全等的三角形比較多，要注意利用數形結合，並熟練掌握三角形全等的判定，還要熟練掌握角平分線的逆定理的運用，*FO平分∠DFG是本題的關鍵，

知識點：與三角形有關的角

題型：選擇題