（1）數學理解：如圖①，△ABC是等腰直角三角形，過斜邊AB的中點D作正方形DECF，分別交BC，AC於點E，...

問題詳情：

（1）數學理解：如圖①，△ABC是等腰直角三角形，過斜邊AB的中點D作正方形DECF，分別交BC，AC於點E，F，求AB，BE，AF之間的數量關係；

（2）問題解決：如圖②，在任意直角△ABC內，找一點D，過點D作正方形DECF，分別交BC，AC於點E，F，若AB＝BE+AF，求∠ADB的度數；

（3）聯絡拓廣：如圖③，在（2）的條件下，分別延長ED，FD，交AB於點M，N，求MN，AM，BN的數量關係．

【回答】

【解答】解：

數學理解：

（1）AB＝（AF+BE）

理由如下：∵△ABC是等腰直角三角形

∴AC＝BC，∠A＝∠B＝45°，AB＝AC6

∵四邊形DECF是正方形

∴DE＝DF＝CE＝CF，∠DFC＝∠DEC＝90°

∴∠A＝∠ADF＝45°

∴AF＝DF＝CE

∴AF+BE＝BC＝AC

∴AB＝（AF+BE）

問題解決：

（2）如圖，延長AC，使FM＝BE，連線DM，

∵四邊形DECF是正方形

∴DF＝DE，∠DFC＝∠DEC＝90°

∵BE＝FM，∠DFC＝∠DEB＝90°，DF＝ED

∴△DFM≌△DEB（SAS）

∴DM＝DB

∵AB＝AF+BE，AM＝AF+FM，FM＝BE，

∴AM＝AB，且DM＝DB，AD＝AD

∴△ADM≌△ADB（SSS）

∴∠DAC＝∠DAB＝∠CAB

同理可得：∠ABD＝∠CBD＝∠ABC

∵∠ACB＝90°，

∴∠CAB+∠CBA＝90°

∴∠DAB+∠ABD＝（∠CAB+∠CBA）＝45°

∴∠ADB＝180°﹣（∠DAB+∠ABD）＝135°

聯絡拓廣：

（3）∵四邊形DECF是正方形

∴DE∥AC，DF∥BC

∴∠CAD＝∠ADM，∠CBD＝∠NDB，∠MDN＝∠AFD＝90°

∵∠DAC＝∠DAB，∠ABD＝∠CBD

∴∠DAB＝∠ADM，∠NDB＝∠ABD

∴AM＝MD，DN＝NB

在Rt∠DMN中，MN2＝MD2+DN2，

∴MN2＝AM2+NB2，

知識點：各地會考

題型：綜合題