已知：如圖，以等邊△ABC的邊BC為直徑作⊙O，分別交AB，AC於點D，E，過點D作DF⊥AC交AC於點F．（...

問題詳情：

已知：如圖，以等邊△ABC的邊BC為直徑作⊙O，分別交AB，AC於點D，E，過點D作DF⊥AC交AC於點F．

（1）求*：DF是⊙O的切線；

（2）若等邊△ABC的邊長為8，求由、DF、EF圍成的*影部分面積．

【回答】

【解答】解：（1）如圖，連線CD、OD，

∵BC是⊙O的直徑，

∴∠CDB=90°，即CD⊥AB，

又∵△ABC是等邊三角形，

∴AD=BD，

∵BO=CO，

∴DO是△ABC的中位線，

∴OD∥AC，

∵DF⊥AC，

∴DF⊥OD，

∴DF是⊙O的切線；

（2）連線OE、作OG⊥AC於點G，

∴∠OGF=∠DFG=∠ODF=90°，

∴四邊形OGFD是矩形，

∴FG=OD=4，

∵OC=OE=OD=OB，且∠COE=∠B=60°，

∴△OBD和△OCE均為等邊三角形，

∴∠BOD=∠COE=60°，CE=OC=4，

∴EG=CE=2、DF=OG=OCsin60°=2，∠DOE=60°，

∴EF=FG﹣EG=2，

則*影部分面積為S梯形EFDO﹣S扇形DOE

=×（2+4）×2﹣

=6﹣．

【點評】本題主要考查了切線的判定與*質，等邊三角形的*質，垂徑定理等知識．判斷直線和圓的位置關係，一般要猜想是相切，再*直線和半徑的夾角為90°即可．注意利用特殊的三角形和三角函式來求得相應的線段長．

知識點：各地會考

題型：解答題