如圖1，O經過等邊△ABC的頂點A，C（圓心O在△ABC內），分別與AB，CB的延長線交於點D，E，連結DE，...

問題詳情：

如圖1， O經過等邊△ABC的頂點A，C（圓心O在△ABC內），分別與AB，CB的延長線交於點D，E，連結DE，BF⊥EC交AE於點F. 

（1）求*：BD=BE.   

（2）當AF：EF=3:2，AC=6時，求AE的長。   

（3）設 =x,tan∠DAE=y. 

①求y關於x的函式表示式；

②如圖2，連結OF,OB，若△AEC的面積是△OFB面積的10倍，求y的值

【回答】

（1）*：∵△ABC為等邊三角形， 

∴∠BAC=∠C=60 .

∵∠DEB=∠BAC=60 ,∠D=∠C=60

∴∠DEB=∠D.

∴BD=BE （2）解：如圖，過點A作AG⊥EC於點G. 

∵△ABC為等邊三角形，AC=6，

∴BG= BC= AC=3.

∴在Rt△ABG中，AG= BG=3 .

∵BF⊥EC，

∴BF∥AG.

∵AF:EF=3:2,

∴BE= BG=2.

∴EG=BE+BG=3+2=5.

∴在Rt△AEG中，AE= . （3）解：①如圖，過點E作EH⊥AD於點H. 

∵∠EBD=∠ABC=60°,

∴在Rt△BEH中， =sin60 = .

∴

∴

∵BG=xBE.

∴AB=BC=2BG-2xBE.

∴AH-AB+BH=2xBE+ BE=(2x+ )BE.

∴在Rt△AHE中,tan =

y=

②如圖，過點O作OM⊥EC於點M.

設BE=a.

∵

∴CG=BG=xBE=x.

∴EC=CG+BG+BE=a+2ax.

∴AM= EC= a+ax.

∴BM=EM-BE=ax- a

∵BF∥AG

∴△EBF∽△EGA.

∴

∵AG= BG= ax

∴BF= AG=

∴△OFB的面積=

∴△AEC的面積=

∵△AEC的面積是△OFB的面積10倍

∴

∴

解得

∴

【考點】圓的綜合題   

【解析】【分析】（1）根據等邊三角形的三個內角都等於60°得出∠BAC=∠C=60°，根據同弧所對的圓周角相等得出∠DEB=∠BAC=60°,∠D=∠C=60°,故∠DEB=∠D,根據等角對等邊得出BD=BE；  （2）如圖，過點A作AG⊥EC於點G，根據等邊三角形的三線合一得出BG=3，在Rt△ABG中，根據含30°角的直角三角形的邊之間的關係得出AG的長，根據同一平面內垂直於同一直線的兩條直線互相平行得出BF∥AG，根據平行線分線段成比例定理得出∶EF=BG∶EB,根據比例式即可算出EG的長，最後在Rt△AEG中，根據勾股定理即可算出AE的長；  （3）①如圖，過點E作EH⊥AD於點H，在Rt△BEH中，根據銳角三角函式的定義，及特殊銳角三角函式值得出EH= ,由於BG∶EB=AF∶EF=x，故BG=xBE，AB=2xBE,最後根據AH=AB+BH表示出AH，在Rt△AHE中，根據正切函式的定義，由tan∠EAO=EH∶AH,即可建立出函式關係式；②如圖，過點O作OM⊥EC於點M，設BE為a，根據BG∶EB=AF∶EF=x，得出CG=BG=xBE=ax，故EC=CG+BG+BE=a+2ax,根據垂徑定理得出EM的長，進而根據線段的和差表示出BM的長，根據平行於三角形一邊的直線，截其它兩邊，所截的三角形與原三角形相似得出△EBF∽△EGA，根據相似三角形的對應邊成比例表示出BF的長，根據三角形的面積計算公式分別表示出△OFB的面積及△AEC的面積，然後根據△AEC的面積是△OFB的面積的10倍建立方程，求解算出x的值，進而即可得出*。

知識點：各地會考

題型：解答題