如圖1,等邊△ABC中,AC=4,D是邊AC上的點(不與A,C重合),過點D作DE∥BC交AB於點E,沿DE將...
問題詳情:
如圖1,等邊△ABC中,AC=4,D是邊AC上的點(不與A,C重合),過點D作DE∥BC交AB於點E,沿DE將△ADE向上折起,使得平面ADE⊥平面BCDE,如圖2所示.
(1)若異面直線BE與AC垂直,確定圖1中點D的位置;
(2)*:無論點D的位置如何,二面角D﹣AE﹣B的餘弦值都為定值,並求出這個定值.
【回答】
【詳解】解:(1)在圖2中,取DE中點O,BC中點F,連結OA,OF,
以O為原點,OE、OF、OA所在直線分別為x,y,z軸,建立空間直角座標系,
設OA=x,則OF=2x,OE,
∴B(2,2x,0),E(,0,0),
A(0,0,x),C(﹣2,2x,0),
(﹣2,2x,﹣x),
(2,x﹣2,0),
∵異面直線BE與AC垂直,
∴8=0,
解得x(舍)或x,
∴,
∴圖1中點D在靠近點A的三等分點處.
*:(2)平面ADE的法向量(0,1,0),
(,0,﹣x),(2,x﹣2,0),
設平面ABE的法向量(a,b,c),
則,取a=1,得(1,,),
設二面角D﹣AE﹣B的平面角為θ,
則cosθ,
∴無論點D的位置如何,二面角D﹣AE﹣B的餘弦值都為定值.
【點睛】本題考查空間中點的位置的確定,考查二面角的餘弦值為定值的*,考查空間中線線、線面、面面間的位置關係等基礎知識,考查運算能力,考查數形結合思想,是中檔題.
知識點:點 直線 平面之間的位置
題型:解答題
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