已知函式，k≠0．（Ⅰ）當k=2時，求函式f（x）切線斜率中的最大值；（Ⅱ）若關於x的方程f（x）=k有解，求...

問題詳情：

已知函式，k≠0．

（Ⅰ）當k=2時，求函式f（x）切線斜率中的最大值；

（Ⅱ）若關於x的方程f（x）=k有解，求實數k的取值範圍．

【回答】

【考點】6K：導數在最大值、最小值問題中的應用；6H：利用導數研究曲線上某點切線方程．

【分析】（Ⅰ）求出函式的定義域，導數，推出切線的斜率，然後求解函式f（x）切線斜率中的最大值；

（Ⅱ）關於x的方程f（x）=k有解，令，則問題等價於函式g（x）存在零點，

求出．通過當k＜0時，當k＞0時，判斷函式的單調*以及求解函式的最值，推出結果即可．

【解答】解：（Ⅰ）函式的定義域為（0，+∞）.

當k=2時，，

所以函式f（x）切線斜率的最大值為1．

（Ⅱ）因為關於x的方程f（x）=k有解，

令，則問題等價於函式g（x）存在零點，

所以．

當k＜0時，g′（x）＜0對（0，+∞）成立，

函式g（x）在（0，+∞）上單調遞減．

而g（1）=1﹣k＞0， =，

所以函式g（x）存在零點．

當k＞0時，令g′（x）=0，得．

g′（x），g（x）隨x的變化情況如下表：

所以為函式g（x）的最小值，

當時，即0＜k＜1時，函式g（x）沒有零點，

當時，即k≥1時，注意到，

所以函式g（x）存在零點．

綜上，當k＜0或k≥1時，關於x的方程f（x）=k有解．

知識點：導數及其應用

題型：解答題