已知函式f(x)=lnx+ax(a∈R).(1)求f(x)的單調區間;(2)設g(x)=x2-4x+2,若對任...
問題詳情:
已知函式f(x)=ln x+ax(a∈R).
(1)求f(x)的單調區間;
(2)設g(x)=x2-4x+2,若對任意x1∈(0,+∞),均存在x2∈[0,1],使得f(x1)<g(x2),求a的取值範圍.
【回答】
解:(1)f′(x)=a+= (x>0).
①當a≥0時,由於x>0,故ax+1>0,
f′(x)>0,
所以f(x)的單調遞增區間為(0,+∞).
②當a<0時,由f′(x)=0,得x=-.
在區間上,f′(x)>0,在區間上,
f′(x)<0,所以函式f(x)的單調遞增區間為,
單調遞減區間為.
綜上所述,當a≥0時,f(x)的單調遞增區間為(0,+∞),
當a<0時,f(x)的單調遞增區間為,單調遞減區間為.
(2)由題意得f(x)max<g(x)max,
而g(x)max=2,
由(1)知,當a≥0時,f(x)在(0,+∞)上單調遞增,值域為R,故不符合題意.
當a<0時,f(x)在上單調遞增,在上單調遞減,
故f(x)的極大值即為最大值,f=-1+ln=-1-ln(-a),
所以2>-1-ln(-a),解得a<-.
故a的取值範圍為.
知識點:基本初等函式I
題型:解答題
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