已知f(x)=ax2(a∈R),g(x)=2lnx.(1)討論函式F(x)=f(x)-g(x)的單調*;(2)...
問題詳情:
已知f(x)=ax2(a∈R),g(x)=2ln x.
(1)討論函式F(x)=f(x)-g(x)的單調*;
(2)若方程f(x)=g(x)在區間[,e]上有兩個不等解,求a的取值範圍.
【回答】
[解] (1)F(x)=ax2-2ln x,其定義域為(0,+∞),
∴F′(x)=2ax-
=(x>0).
①當a>0時,由ax2-1>0,得x> .
由ax2-1<0,得0<x< .
故當a>0時,F(x)在區間上單調遞增,
在區間上單調遞減.
②當a≤0時,F′(x)<0(x>0)恆成立.
故當a≤0時,F(x)在(0,+∞)上單調遞減.
(2)原式等價於方程a==φ(x)在區間[,e]上有兩個不等解.
∵φ′(x)=在(,)上為增函式,
在(,e)上為減函式,則φ(x)max=φ()=,
而φ(e)=<φ(2)===φ().
∴φ(x)min=φ(e),
如圖當f(x)=g(x)在[,e]上有兩個不等解時有φ(x)min=.
故a的取值範圍為≤a<.
知識點:*與函式的概念
題型:解答題
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