已知函式f(x)＝ex－x－1，g(x)＝x2eax.(1)求f(x)的最小值；(2)求g(x)的單調區間；(...

問題詳情：

已知函式f(x)＝ex－x－1，g(x)＝x2eax.

(1)求f(x)的最小值；

(2)求g(x)的單調區間；

(3)當a＝1時，對於在(0,1)中的任一個常數m，是否存在正數x0使得f(x0)>g(x0)成立？如果存在，求出符合條件的一個x0；否則說明理由．

【回答】

解：(1)f(x)的定義域是R，

f′(x)＝ex－1，

且在(－∞，0)上f′(x)<0，在(0，＋∞)上f′(x)>0，

所以f(x)min＝f(0)＝0.

(2)g′(x)＝2xeax＋ax2eax＝(2x＋ax2)eax.

①當a＝0時，若x<0，則g′(x)<0，若x>0，則g′(x)>0.

所以當a＝0時，函式g(x)在區間(－∞，0)內為減函式，在區間(0，＋∞)內為增函式．

②當a>0時，由2x＋ax2>0，解得x<－或x>0，

由2x＋ax2<0，解得－<x<0.

所以當a>0時，函式g(x)在區間內為增函式，

在區間內為減函式，在區間(0，＋∞)內為增函式．

③當a<0時，由2x＋ax2>0，解得0<x<－，

由2x＋ax2<0，解得x<0或x>－.

所以當a<0時，函式g(x)在區間(－∞，0)內為減函式，在區間內為增函式，在區間內為減函式．

(3)假設存在這樣的x0滿足題意，則

f(x0)>g(x0)，ex0－x0－1>xex0，x＋－1<0，(*)

要找一個x0>0，使(*)式成立，只需找到當x>0時，函式h(x)＝x2＋－1的最小值h(x)min<0即可，

h′(x)＝x，

令h′(x)＝0得ex＝，則x＝－ln m，取x0＝－ln m，

當0<x<x0時，h′(x)<0，當x>x0時，h′(x)>0，

所以h(x)min＝h(x0)＝h(－ln m)＝(ln m)2－mln m＋m－1.

下面只需*：當0<m<1時，(ln m)2－mln m＋m－1<0成立即可，

令p(m)＝(ln m)2－mln m＋m－1，m∈(0,1)，

則p′(m)＝(ln m)2≥0，從而p(m)在m∈(0,1)時為增函式，則p(m)<p(1)＝0，從而(ln m)2－mln m＋m－1<0得*．

於是h(x)的最小值h(－ln m)<0，因此可找到一個正常數x0＝－ln m(0<m<1)，使得f(x0)>g(x0)成立．

知識點：基本初等函式I

題型：解答題