已知a∈R，函式f(x)＝(－x2＋ax)ex(x∈R)．(1)當a＝2時，求函式f(x)的單調區間；(2)若...

問題詳情：

已知a∈R，函式f(x)＝(－x2＋ax)ex(x∈R)．

(1)當a＝2時，求函式f(x)的單調區間；

(2)若函式f(x)在(－1，1)上單調遞增，求a的取值範圍．

【回答】

（1）見解析（2）

【分析】

（1）求出a=2的函式f（x）的導數，令導數大於0，得增區間，令導數小於0，得減區間；

（2）求出f（x）的導數，由題意可得f′（x）≥0在（﹣1，1）上恆成立，即為a﹣x2+（a﹣2）x≥0，即有x2﹣（a﹣2）x﹣a≤0，再由二次函式的圖象和*質，得到不等式組，即可解得a的範圍．

【詳解】

（1）a=2時，f（x）=（﹣x2+2x）•ex的導數為

f′（x）=ex（2﹣x2），

由f′（x）＞0，解得﹣＜x＜，

由f′（x）＜0，解得x＜﹣或x＞．

即有函式f（x）的單調減區間為（﹣∞，﹣），（，+∞），

單調增區間為（﹣，）．

（2）函式f（x）=（﹣x2+ax）•ex的導數為

f′（x）=ex，

由函式f（x）在（﹣1，1）上單調遞增，

則有f′（x）≥0在（﹣1，1）上恆成立，

即為a﹣x2+（a﹣2）x≥0，即有x2﹣（a﹣2）x﹣a≤0，

則有1+（a﹣2）﹣a≤0且1﹣（a﹣2）﹣a≤0，

解得a≥．

則有a的取值範圍為．

【點睛】

本題考查函式的單調*的判斷和運用，同時考查導數的運用：求單調區間和判斷單調*，屬於中檔題和易錯題．

知識點：導數及其應用

題型：解答題