如圖，A（0，4）是直角座標系y軸上一點，動點P從原點O出發，沿x軸正半軸運動，速度為每秒1個單位長度，以P為...

問題詳情：

如圖，A（0，4）是直角座標系y軸上一點，動點P從原點O出發，沿x軸正半軸運動，速度為每秒1個單位長度，以P為直角頂點在第一象限內作等腰Rt△APB．設P點的運動時間為t秒．

（1）若AB∥x軸，求t的值；

（2）當t=3時，座標平面內有一點M，使得以M、P、B為頂點的三角形和△ABP全等，請直接寫出點M的座標；

（3）設點A關於x軸的對稱點為A'，連線A'B，

在點P運動的過程中，∠OA'B的度數是否會發生變化，

若不變，請求出∠OA'B的度數，若改變，請說明理由．

【回答】

【解答】解：（1）過點B作BC⊥x軸於點C，如圖1所示．

∵AO⊥x軸，BC⊥x軸，且AB∥x軸，

∴四邊形ABCO為長方形，

∴AO=BC=4．

∵△APB為等腰直角三角形，

∴AP=BP，∠PAB=∠PBA=45°，

∴∠OAP=90°﹣∠PAB=45°，

∴△AOP為等腰直角三角形，

∴OA=OP=4．

t=4÷1=4（秒），

故t的值為4．

（2）點M的座標為（4，7）或（6，﹣4）或（10，﹣1）或（0，4）；

（3）∠OA'B=45°，不發生變化；理由如下：

∵△APB為等腰直角三角形，

∴∠APO+∠BPC=180°﹣90°=90°．

又∵∠PAO+∠APO=90°，

∴∠PAO=∠BPC．

在△PAO和△BPC中，，

∴△PAO≌△BPC（AAS），

∴AO=PC，BC=PO．

∵點A（0，4），點P（t，0）

∴PC=AO=4，BC=PO=t，CO=PC+PO=4+t

∴點B（4+t，t）；

∴點B在直線y=x﹣4上

又∵點A關於x軸的對稱點為A'（0，﹣4）也在直線y=x﹣4上，

∴∠OA'B=45°．

知識點：三角形全等的判定

題型：解答題