如圖1,平面直角座標系中,等腰的底邊在軸上,,頂點在的正半軸上,,一動點從出發,以每秒1個單位的速度沿向左運動...
問題詳情:
如圖1,平面直角座標系中,等腰的底邊在軸上,,頂點在的正半軸上,,一動點從出發,以每秒1個單位的速度沿向左運動,到達的中點停止.另一動點從點出發,以相同的速度沿向左運動,到達點停止.已知點、同時出發,以為邊作正方形,使正方形和在的同側.設運動的時間為秒().
(1)當點落在邊上時,求的值;
(2)設正方形與重疊面積為,請問是存在值,使得?若存在,求出值;若不存在,請說明理由;
(3)如圖2,取的中點,連結,當點、開始運動時,點從點出發,以每秒個單位的速度沿運動,到達點停止運動.請問在點的整個運動過程中,點可能在正方形內(含邊界)嗎?如果可能,求出點在正方形內(含邊界)的時長;若不可能,請說明理由.
【回答】
(1)t=1;(2)存在,,理由見解析;(3)可能,或或理由見解析
【解析】
(1)用待定係數法求出直線AC的解析式,根據題意用t表示出點H的座標,代入求解即可;
(2)根據已知,當點F運動到點O停止運動前,重疊最大面積是邊長為1的正方形的面積,即不存在t,使重疊面積為,故t﹥4,用待定係數法求出直線AB的解析式,求出點H落在BC邊上時的t值,求出此時重疊面積為﹤,進一步求出重疊面積關於t的表示式,代入解t的方程即可解得t值;
(3)由已知求得點D(2,1),AC=,OD=OC=OA=,結合圖形分情況討論即可得出符合條件的時長.
【詳解】
(1)由題意,A(0,2),B(-4,0),C(4,0),
設直線AC的函式解析式為y=kx+b,
將點A、C座標代入,得:
,解得:,
∴直線AC的函式解析式為,
當點落在邊上時,點E(3-t,0),點H(3-t,1),
將點H代入,得:
,解得:t=1;
(2)存在,,使得.
根據已知,當點F運動到點O停止運動前,重疊最大面積是邊長為1的正方形的面積,即不存在t,使重疊面積為,故t﹥4,
設直線AB的函式解析式為y=mx+n,
將點A、B座標代入,得:
,解得:,
∴直線AC的函式解析式為,
當t﹥4時,點E(3-t,0)點H(3-t,t-3),G(0,t-3),
當點H落在AB邊上時,將點H代入,得:
,解得:;
此時重疊的面積為,
∵﹤,∴﹤t﹤5,
如圖1,設GH交AB於S,EH交AB於T,
將y=t-3代入得:,
解得:x=2t-10,
∴點S(2t-10,t-3),
將x=3-t代入得:,
∴點T,
∴AG=5-t,SG=10-2t,BE=7-t,ET=,
所以重疊面積,
由=得:,﹥5(捨去),
∴;
(3)可能,≤t≤1或t=4.
∵點D為AC的中點,且OA=2,OC=4,
∴點D(2,1),AC=,OD=OC=OA=,
易知M點在水平方向以每秒是4個單位的速度運動;
當0﹤t﹤時,M線上段OD上,H未到達D點,所以M與正方形不相遇;
當﹤t﹤1時, +÷(1+4)=秒,
∴時M與正方形相遇,經過1÷(1+4)=秒後,M點不在正方行內部,則;
當t=1時,由(1)知,點F運動到原E點處,M點到達C處;
當1≤t≤2時,當t=1+1÷(4-1)=秒時,點M追上G點,經過1÷(4-1)=秒,點都在正方形內(含邊界),
當t=2時,點M運動返回到點O處停止運動,
當 t=3時,點E運動返回到點O處, 當 t=4時,點F運動返回到點O處,
當時,點都在正方形內(含邊界),
綜上,當或或時,點可能在正方形內(含邊界).
知識點:二次函式與一元二次方程
題型:綜合題
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