設函式().(1)討論函式的單調*;(2)若關於x的方程有唯一的實數解,求a的取值範圍.
問題詳情:
設函式().
(1)討論函式的單調*;
(2)若關於x的方程有唯一的實數解,求a的取值範圍.
【回答】
(1)當時,遞增區間時,無遞減區間,當時,遞增區間時,遞減區間時;(2)或.
【分析】
(1)求出,對分類討論,先考慮(或)恆成立的範圍,並以此作為的分類標準,若不恆成立,求解,即可得出結論;
(2)有解,即,令,轉化求函式只有一個實數解,根據(1)中的結論,即可求解.
【詳解】
(1),
當時,恆成立,
當時,,
綜上,當時,遞增區間時,無遞減區間,
當時,遞增區間時,遞減區間時;
(2),
令,原方程只有一個解,只需只有一個解,
即求只有一個零點時,的取值範圍,
由(1)得當時,在單調遞增,
且,函式只有一個零點,原方程只有一個解,
當時,由(1)得在出取得極小值,也是最小值,
當時,,此時函式只有一個零點,
原方程只有一個解,
當且
遞增區間時,遞減區間時;
,當,
有兩個零點,
即原方程有兩個解,不合題意,
所以的取值範圍是或.
【點睛】
本題考查導數的綜合應用,涉及到單調*、零點、極值最值,考查分類討論和等價轉化思想,屬於中檔題.
知識點:導數及其應用
題型:解答題
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