如圖所示,正方體ABCD-A1B1C1D1的稜長為1,線段B1D1上有兩個動點E,F且EF=,則下列結論中錯誤...
問題詳情:
如圖所示,正方體ABCD-A1B1C1D1的稜長為1,線段B1D1上有兩個動點E,F且EF=,則下列結論中錯誤的是( ).
A.AC⊥BE
B.EF∥平面ABCD
C.三稜錐A-BEF的體積為定值
D.異面直線AE,BF所成的角為定值
【回答】
D
【解析】∵AC⊥平面BB1D1D,又BE⊂平面BB1D1D.∴AC⊥BE,故A正確.∵B1D1∥平面ABCD,又E,F在直線D1B1上運動,∴EF∥平面ABCD,故B正確.C中,由於點B到直線B1D1的距離不變,故△BEF的面積為定值,又點A到平面BEF的距離為,故VA-BEF為定值.故C正確.
建立空間直角座標系,如圖所示,可得A(1,1,0),B(0,1,0),
①當點E在D1處,點F為D1B1的中點時,E(1,0,1),F (,,1),
∴=(0,-1,1),=(,-,1),
∴·=.又||=,||=,
∴cos〈,〉===.
∴此時異面直線AE與BF成30°角.
②當點E為D1B1的中點,F在B1處,此時E(,,1),F(0,1,1),∴=(-,-,1),=(0,0,1),
∴·=1,||=,∴cos〈,〉==,故選D.
知識點:空間中的向量與立體幾何
題型:選擇題
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