若函式f(x)=2x3-6x+k在R上只有一個零點,求常數k的取值範圍.
問題詳情:
若函式f(x)=2x3-6x+k在R上只有一個零點,求常數k的取值範圍.
【回答】
解 f(x)=2x3-6x+k,
則f′(x)=6x2-6,
令f′(x)=0,
得x=-1或x=1,
可知f(x)在(-1,1)上是單調減函式,
f(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)上是單調增函式.
f(x)的極大值為f(-1)=4+k,
f(x)的極小值為f(1)=-4+k.
要使函式f(x)只有一個零點,
只需4+k<0或-4+k>0(如圖所示)
或
即k<-4或k>4.
∴k的取值範圍是(-∞,-4)∪(4,+∞).
知識點:導數及其應用
題型:解答題
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