已知k為實數，f(x)＝(x2－4)(x＋k)．(1)求導數f′(x)；(2)若x＝－1是函式f(x)的極值點...

問題詳情：

已知k為實數，f(x)＝(x2－4)(x＋k)．

(1)求導數f′(x)；

(2)若x＝－1是函式f(x)的極值點，求f(x)在區間[－2,2]上的最大值和最小值；

(3)若f(x)在區間(－∞，－2)和(2，＋∞)上都是單調遞增的，求實數k的取值範圍．

【回答】

.(1)∵f(x)＝(x2－4)(x＋k)＝x3＋kx2－4x－4k，

∴f′(x)＝3x2＋2kx－4.

(2)∵x＝－1是函式f(x)的極值點，

∴由f′(－1)＝0，得3－2k－4＝0，

解得k＝－.

∴f(x)＝x3－x2－4x＋2，f′(x)＝3x2－x－4.

由f′(x)＝0，得x＝－1或x＝.

又f(－2)＝0，f(－1)＝，f()＝－，f(2)＝0，

∴f(x)在區間[－2,2]上的最大值為，最小值為－.

(3)∵f′(x)＝3x2＋2kx－4的圖象是開口向上且過點(0，－4)的拋物線，

由已知，得

∴－2≤k≤2，

即k的取值範圍為[－2,2]．

知識點：導數及其應用

題型：解答題