23.如圖1，在矩形紙片ABCD中，AB=3cm，AD=5cm，摺疊紙片使B點落在邊AD上的E處，摺痕為PQ，...

問題詳情：

23.如圖1，在矩形紙片ABCD中，AB=3cm，AD=5cm，摺疊紙片使B點落在邊AD上的E處，摺痕為PQ，過點E作EF∥AB交PQ於F，連線BF．

（1）求*：四邊形BFEP為菱形.

（2）當點E在AD邊上移動時，摺痕的端點P、Q也隨之移動；

①當點Q與點C重合時（如圖2），求菱形BFEP的邊長；

②若限定P、Q分別在邊BA、BC上移動，求出點E在邊AD上移動的最大距離．

【回答】

（1）∵摺疊紙片使B點落在邊AD上的E處，摺痕為PQ，∴點B與點E關於PQ對稱，∴PB=PE，BF=EF，∠BPF=∠EPF．又∵EF∥AB，∴∠BPF=∠EFP，∴∠EPF=∠EFP，∴EP=EF，∴BP=BF=EF=EP，∴四邊形BFEP為菱形；-------------------------4分

（2）①∵四邊形ABCD是矩形，∴BC=AD=5cm，CD=AB=3cm，∠A=∠D=90°．∵點B與點E關於PQ對稱，∴CE=BC=5cm．在Rt△CDE中，DE==4cm，∴AE=AD﹣DE=5cm﹣4cm=1cm．在Rt△APE中，AE=1，AP=3﹣PB=3﹣PE，∴EP2=12+（3﹣EP）2，解得：EP=cm，∴菱形BFEP的邊長為cm.-----------4分

②當點Q與點C重合時，如圖2：

點E離點A最近，由①知，此時AE=1cm；

當點P與點A重合時，如圖3所示：

點E離點A最遠，此時四邊形ABQE為正方形，AE=AB=3cm，∴點E在邊AD上移動的最大距離為2cm．----------------------4分

知識點：特殊的平行四邊形

題型：解答題