如圖1­3，四稜錐P­ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點．(1)*：PB∥平...

問題詳情：

如圖1­3，四稜錐P­ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點．

(1)*：PB∥平面AEC；

(2)設二面角D­AE­C為60°，AP＝1，AD＝，求三稜錐E­ACD的體積．

圖1­3

【回答】

解：(1)*：連線BD交AC於點O，連線EO.

因為ABCD為矩形，所以O為BD的中點．

又E為PD的中點，所以EO∥PB.

因為EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，

所以PB∥平面AEC.

(2)因為PA⊥平面ABCD，ABCD為矩形，

所以AB，AD，AP兩兩垂直．

如圖，以A為座標原點，，AD，AP的方向為x軸、y軸、z軸的正方向，||為單位長，建立空間直角座標系A­xyz，則D，E，＝.

設B(m，0，0)(m>0)，則C(m，，0)，＝(m，，0)．

設n1＝(x，y，z)為平面ACE的法向量，

則即

可取n1＝.

又n2＝(1，0，0)為平面DAE的法向量，

由題設易知|cos〈n1，n2〉|＝，即

＝，解得m＝.

因為E為PD的中點，所以三稜錐E­ACD的高為.三稜錐E­ACD的體積V＝××××＝.

知識點：空間中的向量與立體幾何

題型：解答題