.如圖，在四稜錐P-ABCD中，E是PC的中點，底面ABCD為矩形，AB=4，AD=2，PA=PD，且平面PA...

問題詳情：

.如圖，在四稜錐P-ABCD中，E是PC的中點，底面ABCD為矩形，AB=4，AD=2，PA=PD，且平面PAD⊥平面ABCD，平面ABE與稜PD交於點．

（1）求*：EF∥平面PAB；

（2）若PB與平面ABCD所成角的正弦值為，求二面角P-AE-B的餘弦值．

【回答】

【詳解】（1）矩形ABCD中，AB∥CD，

∵AB⊄面PCD，CD⊂平面PCD，

∴AB∥平面PCD，

又AB⊂平面ABE，

平面PCD∩平面ABE=EF，

∴AB∥EF，

∵EF⊄面PAB，AB⊂平面PAB，

∴EF∥平面PAB．

（2）取AD中點O，連結OP，

∵在四稜錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，AB=4，AD=2，PA=PD，且平面PAD⊥平面ABCD，

∴PO⊥底面ABCD，連線OB，則OB為PB在平面ABCD內的*影，

∴∠PBO為PB與平面ABCD所成角，根據題意知sin∠PBO=，

∴tan∠PBO=，由題OB=，∴PO=2

取BC中點G，連線OG，以O為座標原點，OA為x軸，在平面ABCD中，過O作AB的平行線為y軸，以OP為z軸，建立空間直角座標系，

B（1，4，0），設P（0，0，2），C=（-1，4，0），E（-，2，1）

，

設平面PAE的法向量為，

於是，

令x=2，則y=1，z=1

∴平面PAE的一個法向量=（2，1，1），

同理平面ABE的一個法向量為=（2，0，3），

∴cos= 

可知二面角P-AE-B為鈍二面角

所以二面角P-AE-B的餘弦值為-．

知識點：點 直線 平面之間的位置

題型：解答題