四稜錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點．(1)*：PB∥平面AEC；(...

問題詳情：

四稜錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點．

(1)*：PB∥平面AEC；

(2)設，三稜錐的體積       ，求二面角D-AE-C的大小

【回答】

試題分析：（1）可先連結BD交AC於點O,連結EO，根據中位線*質可*EO//P，從而可得結論；（2）由三稜錐的體積，可得，以A為座標原點，的方向為x軸的正方向，建立空間直角座標系A—xyz,分別求出平面DAE與平面ACE的一個法向量，根據空間向量夾角餘弦公式，可得結果.

試題解析：（1）連結BD交AC於點O,連結EO

因為ABCD為矩形，所以O為BD的中點

又E為的PD的中點，所以EO//PB

EO平面AEC,PB平面AEC，所以PB//平面AEC

（2）因為PA平面ABCD，ABCD為矩形，所以AB,AD,AP兩兩垂直

如圖，以A為座標原點，的方向為x軸的正方向，建立空間直角座標系A—xyz,

三稜錐的體積,

則A(0,0,0)，D(0,,0)，B(,0,0)，E(0,,)，C(,,0)，

則=(0,,)，=(,,0)，設為平面ACE的法向量，

則即

令，得，，則    又為平面DAE的法向量，

，

如圖可得二面角為銳角，所以二面角為

【方法點晴】本題主要考查線面平行以及利用空間向量求二面角，屬於難題.空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當的空間直角座標系；（2）寫出相應點的座標，求出相應直線的方向向量；（3）設出相應平面的法向量，利用兩直線垂直數量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關係轉化為向量關係；（5）根據定理結論求出相應的角和距離.

知識點：空間中的向量與立體幾何

題型：解答題