如圖，四稜錐P-ABCD的底面為正方形，PD⊥底面ABCD．設平面PAD與平面PBC的交線為l．（1）*：l...

問題詳情：

如圖，四稜錐P-ABCD的底面為正方形，PD⊥底面ABCD．設平面PAD與平面PBC的交線為l．

（1）*：l⊥平面PDC；

（2）已知PD=AD=1，Q為l上的點，求PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值．

【回答】

（1）*見解析；（2）.

【解析】

【分析】

（1）利用線面垂直的判定定理*得平面，利用線面平行的判定定理以及*質定理，*得，從而得到平面；

（2）根據題意，建立相應的空間直角座標系，得到相應點的座標，設出點，之後求得平面的法向量以及向量的座標，求得的最大值，即為直線與平面所成角的正弦值的最大值.

【詳解】（1）*：

在正方形中，，

因為平面，平面，

所以平面，

又因為平面，平面平面，

所以，

因為在四稜錐中，底面是正方形，所以

且平面，所以

因為

所以平面；

（2）如圖建立空間直角座標系，

因為，則有，

設，則有，

設平面的法向量為，

則，即，

令，則，所以平面的一個法向量為，則

根據直線的方向向量與平面法向量所成角的餘弦值的絕對值即為直線與平面所成角的正弦值，所以直線與平面所成角的正弦值等於，若且唯若時取等號，

所以直線與平面所成角的正弦值的最大值為.

【點睛】該題考查的是有關立體幾何的問題，涉及到的知識點有線面平行的判定和*質，線面垂直的判定和*質，利用空間向量求線面角，利用基本不等式求最值，屬於中檔題目.

知識點：大學聯考試題

題型：解答題