如圖所示，已知在矩形ABCD中，AB=1，BC=a（a>0），PA⊥平面AC，且PA=1．（1）試建立適...

問題詳情：

如圖所示，已知在矩形ABCD中，AB=1，BC=a（a>0），PA⊥平面AC，且PA=1．

（1）試建立適當的座標系，並寫出點P、B、D的座標；

（2）問當實數a在什麼範圍時，BC邊上能存在點Q，

使得PQ⊥QD？

（3）當BC邊上有且僅有一個點Q使得PQ⊥QD時，

求二面角Q-PD-A的大小．

【回答】

（1）以A為座標原點，AB、AD、AP分

別為x、y、z軸建立座標系如圖所示．

∵PA=AB=1，BC=a，

∴P（0，0，1），B（1，1，0），

D（0，a，0）．

（2）設點Q（1，x，0），則

．

由，得x2-ax+1=0．

顯然當該方程有實數解時，BC邊上才存在點Q，使得PQ⊥QD，故⊿=a2-4≥0．

因a>0，故a的取值範圍為a≥0．

（3）易見，當a=2時，BC上僅有一點滿足題意，此時x=1，即Q為BC的中點．

    取AD的中點M，過M作MN⊥PD，垂足為N，連結QM、QN．則M（0，1，0），P（0，0，1），D（0，2，0）．

∵D、N、P三點共線，

∴．

又，且，

故．

於是．

故．

∵，

∴．

∴∠MNQ為所求二面角的平面角．

∵，

∴所求二面角為．

知識點：空間中的向量與立體幾何

題型：解答題