如圖1，在矩形ABCD中，P為CD邊上一點（DP＜CP），∠APB=90°．將△ADP沿AP翻折得到△AD′P...

問題詳情：

如圖1，在矩形ABCD中，P為CD邊上一點（DP＜CP），∠APB=90°．將△ADP沿AP翻折得到△AD′P，PD′的延長線交邊AB於點M，過點B作BN∥MP交DC於點N．

（1）求*：AD2=DP•PC；

（2）請判斷四邊形PMBN的形狀，並說明理由；

（3）如圖2，連線AC，分別交PM，PB於點E，F．若=，求的值．

【回答】

（1）*見解析；（2）四邊形PMBN是菱形，理由見解析；（3）

【解析】

（1）過點P作PG⊥AB於點G，易知四邊形DPGA，四邊形PCBG是矩形，所以AD=PG，DP=AG，GB=PC，易*△APG∽△PBG，所以PG2=AG•GB，即AD2=DP•PC；

（2）DP∥AB，所以∠DPA=∠PAM，由題意可知：∠DPA=∠APM，所以∠PAM=∠APM，由於∠APB-∠PAM=∠APB-∠APM，即∠ABP=∠MPB，從而可知PM=MB=AM，又易*四邊形PMBN是平行四邊形，所以四邊形PMBN是菱形；

（3）由於，可設DP=k，AD=2k，由（1）可知：AG=DP=k，PG=AD=2k，從而求出GB=PC=4k，AB=AG+GB=5k，由於CP∥AB，從而可*△PCF∽△BAF，△PCE∽△MAE，從而可得，，從而可求出EF=AF-AE=AC-AC=AC，從而可得．

【詳解】

解：（1）過點P作PG⊥AB於點G，

∴易知四邊形DPGA，四邊形PCBG是矩形，

∴AD=PG，DP=AG，GB=PC

∵∠APB=90°，

∴∠APG+∠GPB=∠GPB+∠PBG=90°，

∴∠APG=∠PBG，

∴△APG∽△PBG，

∴，

∴PG2=AG•GB，

即AD2=DP•PC；

（2）∵DP∥AB，

∴∠DPA=∠PAM，

由題意可知：∠DPA=∠APM，

∴∠PAM=∠APM，

∵∠APB-∠PAM=∠APB-∠APM，

即∠ABP=∠MPB

∴AM=PM，PM=MB，

∴PM=MB，

又易*四邊形PMBN是平行四邊形，

∴四邊形PMBN是菱形；

（3）由於，

可設DP=k，AD=2k，

由（1）可知：AG=DP=k，PG=AD=2k，

∵PG2=AG•GB，

∴4k2=k•GB，

∴GB=PC=4k，

AB=AG+GB=5k，

∵CP∥AB，

∴△PCF∽△BAF，

∴，

∴，

又易*：△PCE∽△MAE，AM=AB=,

∴

∴，

∴EF=AF-AE=AC-AC=AC，

∴.

【點睛】

本題考查相似三角形的綜合問題，涉及相似三角形的*質與判定，菱形的判定，直角三角形斜邊上的中線的*質等知識，綜合程度較高，需要學生靈活運用所學知識．

知識點：特殊的平行四邊形

題型：解答題