如圖所示，已知在直角梯形OABC中，AB∥OC，BC⊥x軸於點C．A（1，1）、B（3，1）．動點P從O點出發...

問題詳情：

如圖所示，已知在直角梯形OABC中，AB∥OC，BC⊥x軸於點C．A（1，1）、B（3，1）．動點P從O點出發，沿x軸正方向以每秒1個單位長度的速度移動．過P點作PQ垂直於直線OA，垂足為Q，設P點移動的時間為t秒（0＜t＜4），△OPQ與直角梯形OABC重疊部分的面積為S．

（1）求經過O、A、B三點的拋物線解析式；

（2）求S與t的函式關係式；

（3）將△OPQ繞著點P順時針旋轉90°，是否存t，使得△OPQ的頂點O或Q在拋物線上？若存在，直接寫出t的值；若不存在，請說明理由．

【回答】

【解答】解：（1）解法一：由圖象可知：拋物線經過原點，

設拋物線解析式為y=ax2+bx（a≠0）．

把A（1，1），B（3，1）代入上式得，

解得，

∴所求拋物線解析式為y=﹣x2+x；

解法二：∵A（1，1），B（3，1），∴拋物線的對稱軸是直線x=2．

設拋物線解析式為y=a（x﹣2）2+h（a≠0），

把O（0，0），A（1，1）代入得

解得∴所求拋物線解析式為：y=﹣（x﹣2）2+．

（2）分三種情況：

①當0＜t≤2，重疊部分的面積是S△OPQ，過點A作AF⊥x軸於點F，

∵A（1，1），在Rt△OAF中，AF=OF=1，∠AOF=45°，

在Rt△OPQ中，OP=t，∠OPQ=∠QOP=45°，

∴PQ=OQ=tcos45°=t，

∴S=（t）2=t2．

②當2＜t≤3，設PQ交AB於點G，

作GH⊥x軸於點H，∠OPQ=∠QOP=45°，則四邊形OAGP是等腰梯形，

重疊部分的面積是S梯形OAGP．

∴AG=FH=t﹣2，

∴S=（AG+OP）AF=（t+t﹣2）×1=t﹣1．

③當3＜t＜4，設PQ與AB交於點M，交BC於點N，

重疊部分的面積是S五邊形OAMNC．

因為△PNC和△BMN都是等腰直角三角形，

所以重疊部分的面積是S五邊形OAMNC=S梯形OABC﹣S△BMN．

∵B（3，1），OP=t，

∴PC=CN=t﹣3，

∴BM=BN=1﹣（t﹣3）=4﹣t，

∴S=（2+3）×1﹣（4﹣t）2 S=﹣t2+4t﹣；

（3）存在t1=1，t2=2．

將△OPQ繞著點P順時針旋轉90°，此時Q（t+，），O（t，t）

①當點Q在拋物線上時， =×（t+）2+×（t+），解得t=2；

②當點O在拋物線上時，t=﹣t2+t，解得t=1．

知識點：二次函式與一元二次方程

題型：解答題