如圖，四稜錐P﹣ABCD的底面ABCD為平行四邊形，DA＝DP，BA＝BP．（1）求*：PA⊥BD；（2）若D...

問題詳情：

如圖，四稜錐P﹣ABCD的底面ABCD為平行四邊形，DA＝DP，BA＝BP．

（1）求*：PA⊥BD；

（2）若DA⊥DP，∠ABP＝60°，BA＝BP＝BD＝2，求二面角D﹣PC﹣B的正弦值．

【回答】

【解答】（1）*：取AP中點M，連線DM，BM，

∵DA＝DP，BA＝BP，

∴PA⊥DM，PA⊥BM，

∵DM∩BM＝M，

∴PA⊥平面DMB．

又∵BD⊂平面DMB，

∴PA⊥BD；

（2）解：∵DA＝DP，BA＝BP．DA⊥DP，∠ABP＝60°，

∴△DAP是等腰三角形，△ABP是等邊三角形．

∵BA＝BP＝BD＝2，

∴DM＝1，BM＝．

∴BD2＝MB2+MD2，∴MD⊥MB．

以MP，MB，MD所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角座標系，

則A（﹣1，0，0），B（0，，0），P（1，0，0），D（0，0，1），

從而得＝（1，0，﹣1），＝（1，，0），＝（1，，0），＝（1，0，1），

設平面DPC的法向量，則，即，

令y1＝1，得，∴＝（，1，），

設平面PCB的法向量，由，得，

令y2＝1，得，，∴＝（，1，），

∴cos＜＞＝．

設二面角D﹣PC﹣B為α，∴．

知識點：點 直線 平面之間的位置

題型：解答題