如圖，已知拋物線y=x2-2x+m交x軸於A，B兩點（A在B的左邊），交y軸於C點，且OB=OC，連線BC，（...

問題詳情：

如圖，已知拋物線y=x2-2x+m交x軸於A，B兩點（A在B的左邊），交y軸於C點，且OB=OC，連線BC，

（1）直接寫出m的值和B，C兩點的座標；（3分）

（2）P點在直線BC下方的拋物線上，△BCP的面積為S，求S最大時，P的座標；（4分）

（3）拋物線的對稱軸交拋物線於D點，交x軸於E點，在拋物線上是否存在點M，過M點作MN⊥BD於N點，使△DMN與BDE相似？若存在，請求出M點的座標；若不存在，請說明理由。（5分）

【回答】

解：（1）m=3，B(3,0),C(0,-3).…………………（3分）

(2) 拋物線y=x2-2x﹣3，設直線BC的解析式為y=kx+b,

由得，

∴直線BC的解析式為y=x﹣3, …………………（5分）              

設M（x,y），則

                ==…………………（6分）

∴y=,

∴M的座標為…………………（7分）

（3）存在。D(1，-4) ，…………………（8分）

①如圖，若P在對稱軸左邊的拋物線上，記為P1，P1Q1⊥BD於Q1，

當△P1DQ1∽△DBE時，∠P1DQ1=∠DBE

延長DP1交x軸於G點，則DG=BG，

設G點座標為（x，0），BG=x+3

由勾股定理得DG=，

∴，解得，x=2，∴G點座標為（-2，0），

易得直線DG的解析式為,…………………（9分）

由解得，，

∴P1的座標為；…………………（10分）

②如圖，若P在對稱軸右邊的拋物線上，記為P2，P2Q2⊥BD於Q2，

同理可得P2的座標為

知識點：二次函式與一元二次方程

題型：解答題