如圖，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交於A（，0），B兩點（點B在點A的左側），與y軸交於點C，且OB=3O...

問題詳情：

如圖，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交於A（，0），B兩點（點B在點A的左側），與y軸交於點C，且OB=3OA=OC，∠OAC的平分線AD交y軸於點D，過點A且垂直於AD的直線l交y軸於點E，點P是x軸下方拋物線上的一個動點，過點P作PF⊥x軸，垂足為F，交直線AD於點H．

（1）求拋物線的解析式；

（2）設點P的橫座標為m，當FH=HP時，求m的值；

（3）當直線PF為拋物線的對稱軸時，以點H為圓心，HC為半徑作⊙H，點Q為⊙H上的一個動點，求AQ+EQ的最小值．

【回答】

解：（1）由題意A（，0），B（﹣3，0），C（0，﹣3），

設拋物線的解析式為y=a（x+3）（x﹣），

把C（0，﹣3）代入得到a=，

∴拋物線的解析式為y=x2+x﹣3．

（2）在Rt△AOC中，tan∠OAC==，

∴∠OAC=60°，

∵AD平分∠OAC，

∴∠OAD=30°，

∴OD=OA•tan30°=1，

∴D（0，﹣1），

∴直線AD的解析式為y=x﹣1，

由題意P（m，m2+m﹣3），H（m，m﹣1），F（m，0），

∵FH=PH，

∴1﹣m=m﹣1﹣（m2+m﹣3）

解得m=﹣或（捨棄），

∴當FH=HP時，m的值為﹣．

（3）如圖，∵PF是對稱軸，

∴F（﹣，0），H（﹣，﹣2），

∵AH⊥AE，

∴∠EAO=60°，

∴EO=OA=3，

∴E（0，3），

∵C（0，﹣3），

∴HC==2，AH=2FH=4，

∴QH=CH=1，

在HA上取一點K，使得HK=，此時K（﹣，﹣），

∵HQ2=1，HK•HA=1，

∴HQ2=HK•HA，可得△QHK∽△AHQ，

∴==，

∴KQ=AQ，

∴AQ+QE=KQ+EQ，

∴當E、Q、K共線時，AQ+QE的值最小，最小值==．

知識點：各地會考

題型：解答題