如圖，在直角座標系中，拋物線y＝－x2＋bx＋2與x軸交於A、B兩點，與直線y＝2x交於點M(1，m)．(1)...

問題詳情：

如圖，在直角座標系中，拋物線y＝－x2＋bx＋2與x軸交於A、B兩點，與直線y＝2x交於點M(1，m)．

(1)求m，b的值；

(2)已知點N，點M關於原點O對稱，現將線段MN沿y軸向上平移s(s＞0)個單位長度．若線段MN與拋物線有兩個不同的公共點，試求s的取值範圍；

(3)利用尺規作圖，在該拋物線上作出點G，使得∠AGO＝∠BGO，並簡要說明理由．(保留作圖痕跡)

【回答】

解：(1)把M(1，m)代入y＝2x得m＝2×1＝2，

把M(1，2)代入y＝－x2＋bx＋2得2＝－12＋b＋2，即b＝1；

(2)由(1)得y＝－x2＋x＋2，M(1，2)，

因為點N，點M關於原點O對稱，所以N(－1，－2)，

如解圖①，過點N作CN⊥x軸，交拋物線於C，則C的橫座標為－1，

所以C的縱座標為－(－1)2＋(－1)＋2＝0，

第25題解圖①

所以C(－1，0)與A重合，

則CN＝AN＝2，即當s＝2時線段MN與拋物線有兩個公共點，

設平移後的直線表示式為y＝2x＋s，

由得x2＋x＋s－2＝0，

由Δ＝12－4(s－2)＝0，得s＝，

即當s＝時，線段MN與拋物線只有一個公共點，

所以，當線段MN與拋物線有兩個公共點時，s的取值範圍為2≤s＜；

(3)如解圖②，在x軸上取一點P(－2，0)，以P為圓心，OP為半徑作圓，⊙P與拋物線的交點，即是所求作的點G(解圖②中的G與G′)，

理由：

第25題解圖②

當點G在x軸上方時，由作圖可知，PG＝2，PA＝1，PB＝4，

則＝＝，

∵∠GPA＝∠BPG，

∴△GPA∽△BPG，

∴∠PBG＝∠PGA，

∵GP＝PO，

∴∠POG＝∠PGO，

又∵∠POG＝∠PBG＋∠OGB，

∠PGO＝∠PGA＋∠AGO，

∴∠AGO＝∠BGO，

同理可*：當點G′在x軸的下方時，結論也成立.

知識點：二次函式與一元二次方程

題型：綜合題