如圖,直線y=﹣x+3與x軸、y軸分別交於B、C兩點,經過B、C兩點的拋物線y=x2+bx+c與x軸的另一個交...
問題詳情:
如圖,直線y=﹣x+3與x軸、y軸分別交於B、C兩點,經過B、C兩點的拋物線y=x2+bx+c與x軸的另一個交點為A,頂點為P.
(1)求該拋物線的解析式;
(2)當0<x<3時,在拋物線上求一點E,使△CBE的面積有最大值;
(3)在該拋物線的對稱軸上是否存在點M,使以C、P、M為頂點的三角形為等腰三角形?若存在,請寫出所符合條件的點M的座標;若不存在,請說明理由.
【回答】
【解析】解:(1)y=﹣x+3,令y=0,則x=3,令x=0,則y=3,
故點B、C的座標為(3,0)、(0,3),將點B、C的座標代入y=x2+bx+c並解得:b=﹣4,
故拋物線的表示式為:y=x2﹣4x+3,令y=0,則x=1或3,故點A(1,0),點P(2,﹣1);
(2)過點E作EH∥y軸交BC於點H,設點E(x,x2﹣4x+3),則點H(x,﹣x+3)
S△CBE=HE×OB=3×(﹣x+3﹣x2+4x﹣3)=(﹣x2+3x),
∵﹣<0,當x=時,S△CBE有最大值,點E(,﹣);
(3)點C(0,3)、點P(2,﹣1),設點M(2,m),
CP2=4+16=20,CM2=4+(m﹣3)2=m2﹣6m+13,PM2=m2+2m+1,
①當CM=CP時,20=m2﹣6m+13,解得:m=7或﹣1(捨去m=﹣1);
②當CP=PM時,同理可得:m=﹣1±2;
③當CM=PM時,同理可得:m=;
故點M座標為:(2,7)或(2,﹣1+2)或(2,﹣1﹣2)或(2,).
知識點:二次函式與一元二次方程
題型:解答題
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