（2019·河南會考模擬）如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交於A、B兩點，與y軸交於C．直線y＝x+3經...

問題詳情：

（2019·河南會考模擬）如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交於A、B兩點，與y軸交於C．直線y＝x+3經過點A、C．

（1）求拋物線的解析式；

（2）P是拋物線上一動點，過P作PM∥y軸交直線AC於點M，設點P的橫座標為t．

①若以點C、O、M、P為頂點的四邊形是平行四邊形，求t的值．

②當*線MP，AC，MO中一條*線平分另外兩條*線的夾角時，直接寫出t的值．

【回答】

（1）；（2）①滿足條件的t的值為2或﹣2+2或﹣2﹣2；②綜合以上可得t的值為

【解析】

（1）在y＝x+3中，令x＝0，y＝3；令y＝0，x＝﹣4，得A（﹣4，0），C（0，3），

代入拋物線y=-x2+bx+c解析式得：，

∴拋物線的解析式；

（2）設P（t，），

∵四邊形OCMP為平行四邊形，

∴PM＝OC＝3，PM∥OC，

∴M點的座標可表示為（t，t+3），

∴PM＝，

∴|＝3，

當﹣t2﹣3t＝3，解得t＝2，

當﹣t2﹣3t＝﹣3，解得t1＝﹣2+2，t2＝﹣2﹣2，

綜上所述，滿足條件的t的值為2或﹣2+2或﹣2﹣2；

（3）如圖1，

若當MP平分AC、MO的夾角，

則∠AMN＝∠OMN，

∵PN⊥OA，

∴AN＝ON，

∴t的值為﹣2；

如圖2，

若AC平分MP、MO的夾角，過點C作CH⊥OA，CG⊥MP，

則CG＝CH，

∵，

∴OM＝OC＝3，

∵點M在直線AC上，

∴M（t，t+3），

∴MN2+ON2＝OM2，可得，，

解得t＝﹣，

如圖3，

若MO平分AC、MP的夾角，則可得∠NMO＝∠OMC，過點O作OK⊥AC，

∴OK＝ON，

∵∠AKO＝∠AOC＝90°，∠OAK＝OAC，

∴△AOK∽△ACO，

∴，

∴，

∴OK＝，

∴t＝﹣，

綜合以上可得t的值為．

【點睛】

本題考查了二次函式的知識，其中涉及了平行四邊形的判定，角平分線的*質定理、等腰三角形的判定等知識．

知識點：相似三角形

題型：綜合題