(2017•重慶)如圖,在平面直角座標系中,拋物線y=x2﹣x﹣與x軸交於A、B兩點(點A在點B的左側),與y...
問題詳情:
(2017•重慶)如圖,在平面直角座標系中,拋物線y=x2﹣x﹣與x軸交於A、B兩點(點A在點B的左側),與y軸交於點C,對稱軸與x軸交於點D,點E(4,n)在拋物線上.
(1)求直線AE的解析式;
(2)點P為直線CE下方拋物線上的一點,連線PC,PE.當△PCE的面積最大時,連線CD,CB,點K是線段CB的中點,點M是CP上的一點,點N是CD上的一點,求KM+MN+NK的最小值;
(3)點G是線段CE的中點,將拋物線y=x2﹣x﹣沿x軸正方向平移得到新拋物線y′,y′經過點D,y′的頂點為點F.在新拋物線y′的對稱軸上,是否存在點Q,使得△FGQ為等腰三角形?若存在,直接寫出點Q的座標;若不存在,請說明理由.
【回答】
解析:(1)∵y=x2﹣x﹣,
∴y=(x+1)(x﹣3).
∴A(﹣1,0),B(3,0).
當x=4時,y=.
∴E(4,).
設直線AE的解析式為y=kx+b,將點A和點E的座標代入得:,
解得:k=,b=.
∴直線AE的解析式為y=x+.
(2)設直線CE的解析式為y=mx﹣,將點E的座標代入得:4m﹣=,解得:m=.
∴直線CE的解析式為y=x﹣.
過點P作PF∥y軸,交CE與點F.
設點P的座標為(x,x2﹣x﹣),則點F(x,x﹣),
則FP=(x﹣)﹣(x2﹣x﹣)=x2+x.
∴△EPC的面積=×(x2+x)×4=﹣x2+x.
∴當x=2時,△EPC的面積最大.
∴P(2,﹣).
如圖2所示:作點K關於CD和CP的對稱點G、H,連線G、H交CD和CP與N、M.
∵K是CB的中點,
∴k(,﹣).
∴tan∠KCP=.
∵OD=1,OC=,
∴tan∠OCD=.
∴∠OCD=∠KCP=30°.
∴∠KCD=30°.
∵k是BC的中點,∠OCB=60°,
∴OC=CK.
∴點O與點K關於CD對稱.
∴點G與點O重合.
∴點G(0,0).
∵點H與點K關於CP對稱,
∴點H的座標為(,﹣).
∴KM+MN+NK=MH+MN+GN.
當點O、N、M、H在條直線上時,KM+MN+NK有最小值,最小值=GH.
∴GH==3.
∴KM+MN+NK的最小值為3.
(3)如圖3所示:
∵y′經過點D,y′的頂點為點F,
∴點F(3,﹣).
∵點G為CE的中點,
∴G(2,).
∴FG==.
∴當FG=FQ時,點Q(3,),Q′(3,).
當GF=GQ時,點F與點Q″關於y=對稱,
∴點Q″(3,2).
當QG=QF時,設點Q1的座標為(3,a).
由兩點間的距離公式可知:a+=,解得:a=﹣.
∴點Q1的座標為(3,﹣).
綜上所述,點Q的座標為(3,)或′(3,)或(3,2)或(3,﹣).
知識點:二次函式與一元二次方程
題型:綜合題
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