如圖，二次函式y=x2+bx+c的圖象與x軸交於A、B兩點，與y軸交於點C，OB=OC．點D在函式圖象上，CD...

問題詳情：

如圖，二次函式y=x2+bx+c的圖象與x軸交於 A、B兩點，與y軸交於點C，OB=OC．點D在函式圖象上，CD∥x軸，且CD=2，直線l是拋物線的對稱軸，E是拋物線的頂點．

（1）求b、c的值；

（2）如圖①，連線BE，線段OC上的點F關於直線l的對稱點F'恰好線上段BE上，求點F的座標；

（3）如圖②，動點P線上段OB上，過點P作x軸的垂線分別與BC交於點M，與拋物線交於點N．試問：拋物線上是否存在點Q，使得△PQN與△APM的面積相等，且線段NQ的長度最小？如果存在，求出點Q的座標；如果不存在，說明理由．

【回答】

【解答】解：

（1）∵CD∥x軸，CD=2，

∴拋物線對稱軸為x=1．

∴．

∵OB=OC，C（0，c），

∴B點的座標為（﹣c，0），

∴0=c2+2c+c，解得c=﹣3或c=0（捨去），

∴c=﹣3；

（2）設點F的座標為（0，m）．

∵對稱軸為直線x=1，

∴點F關於直線l的對稱點F的座標為（2，m）．

由（1）可知拋物線解析式為y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，

∴E（1，﹣4），

∵直線BE經過點B（3，0），E（1，﹣4），

∴利用待定係數法可得直線BE的表示式為y=2x﹣6．

∵點F在BE上，

∴m=2×2﹣6=﹣2，即點F的座標為（0，﹣2）；

（3）存在點Q滿足題意．

設點P座標為（n，0），則PA=n+1，PB=PM=3﹣n，PN=﹣n2+2n+3．

作QR⊥PN，垂足為R，

∵S△PQN=S△APM，

∴，

∴QR=1．

①點Q在直線PN的左側時，Q點的座標為（n﹣1，n2﹣4n），R點的座標為（n，n2﹣4n），N點的座標為（n，n2﹣2n﹣3）．

∴在Rt△QRN中，NQ2=1+（2n﹣3）2，

∴時，NQ取最小值1．此時Q點的座標為；

②點Q在直線PN的右側時，Q點的座標為（n+1，n2﹣4）．

同理，NQ2=1+（2n﹣1）2，

∴時，NQ取最小值1．此時Q點的座標為．

綜上可知存在滿足題意的點Q，其座標為或．

知識點：二次函式與一元二次方程

題型：綜合題