如圖,二次函式y=x2+bx+c的圖象交x軸於A、B兩點,交y軸於點C,頂點為點P,經過B、C兩點的直線為y=...
問題詳情:
如圖,二次函式y=x2+bx+c的圖象交x軸於A、B兩點,交y軸於點C,頂點為點P,經過B、C兩點的直線為y=﹣x+3.
(1)求該二次函式的關係式;
(2)在該拋物線的對稱軸上是否存在點M,使以點C、P、M為頂點的三角形是等腰三角形?若存在,請直接寫出所有符合條件的點M的座標;若不存在,請說明理由;
(3)連線AC,在x軸上是否存在點Q,使以點P、B、Q為頂點的三角形與△ABC相似?若存在,請求出點Q的座標;若不存在,請說明理由.
【回答】
【考點】HF:二次函式綜合題.
【分析】(1)先求出B、C座標,代入拋物線解析式解方程組即可解決問題.
(2)分三種情形討論即可①CM=CP,②PM=PC,③MP=MC,畫出圖形即可解決問題.
(3)分兩種情形討論即可①=時,△ABC∽△PBQ1,列出方程即可解決.②當=時,△ABC∽△Q2BP,列出方程即可解決.
【解答】解:(1)∵直線y=﹣x+3經過B、C兩點,
∴B(3,0),C(0,3),
∵二次函式y=x2+bx+c圖象交x軸於A、B兩點,交y軸於點C,
∴解得,
∴二次函式解析式為y=x2﹣4x+3.
(2)∵y=x2﹣4x+3=(x﹣2)2﹣1,
∴該拋物線的對稱軸為直線x=2,頂點座標為P(2,﹣1),
∴如圖1所示,滿足條件的點M分別為
M1(2,7),M2(2,2﹣1),M3(2,),M4(2,﹣2﹣1).
(3)由(1)(2)得A(1,0),BP=,BC=3,AB=2,
如圖2所示,連線BP,∠CBA=∠ABP=45°,
①=時,△ABC∽△PBQ1,
此時, =,
∴BQ1=3,
∴Q1(0,0).
②當=時,△ABC∽△Q2BP,
此時, =,
∴BQ2=,
∴Q2(,0),
綜上所述,存在點Q使得以點P、B、Q為頂點的三角形與△ABC相似.
點Q座標(0,0)或(,0).
知識點:二次函式與一元二次方程
題型:綜合題
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