如圖，二次函式y=﹣x2+x+3的圖象與x軸交於點A、B，與y軸交於點C，點D在該拋物線上，且點D的橫座標為2...

問題詳情：

如圖，二次函式y=﹣x2+x+3的圖象與x軸交於點A、B，與y軸交於點C，點D在該拋物線上，且點D的橫座標為2，連線BC、BD，設∠OCB=α，∠DBC=β，則cos（α﹣β）的值是(     )

A．      B．      C．   D．

【回答】

D【考點】拋物線與x軸的交點．

【分析】延長BD交y軸於P，根據三角形的外角的*質得到∠OPB=α﹣β，解方程﹣x2+x+3=0，求出點A的座標和點B的座標，根據二次函式圖象上點的座標特徵求出點D的座標，運用待定係數法求出直線BD的解析式，求出OP的長，根據勾股定理求出PB的長，根據餘弦的概念解答即可．

【解答】解：延長BD交y軸於P，

∵∠OCB=α，∠DBC=β，

∴∠OPB=α﹣β，

﹣x2+x+3=0，

解得，x1=﹣1.2，x2=4，

∴點A的座標為（﹣1.2，0），點B的座標為（4，0），

x=0時，y=3，

∴點C的座標為（0，3），

∵點D在該拋物線上，且點D的橫座標為2，

∴點D的縱座標為4，

∴點D的座標為（2，4），

設直線BD的解析式為：y=kx+b，

則，

解得，，

∴直線BD的解析式為：y=﹣2x+8，

∴OP=8，

PB==4，

∴cos（α﹣β）=cos∠OPB==，

故選：D．

【點評】本題考查的是拋物線與x軸的交點的求法，正確運用一元二次方程的解法求出拋物線與x軸的交點是解題的關鍵，解答時，注意三角形的外角的*質的應用．

知識點：二次函式的圖象和*質

題型：選擇題