設函式f(x)=8lnx+15x﹣x2,數列{an}滿足an=f(n),n∈N+,數列{an}的前n項和Sn最...
問題詳情:
設函式f(x)=8lnx+15x﹣x2,數列{an}滿足an=f(n),n∈N+,數列{an}的前n項和Sn最大時,n=( )
A.15 B.16 C.17 D.18
【回答】
B【考點】數列的求和.
【分析】求出f(x)的導數,由導數大於0,可得增區間;導數小於0,可得減區間,再計算f(1),f(8),f(16),f(17)的符號,即可得到所求數列{an}的前n項和Sn最大時,n的值.
【解答】解:函式f(x)=8lnx+15x﹣x2,x>0
導數為f′(x)=+15﹣2x=
=,
當x>8時,f′(x)<0,f(x)遞減;當0<x<8時,f′(x)>0,f(x)遞增,
可得x=8處f(x)取得極大值,且為最大值,f(8)=8ln8+120﹣64>0,
由an=f(n),n∈N+,可得f(1)=15﹣1=14>0,
f(16)=8ln16+15×16﹣162=8ln16﹣16>0,
f(17)=8ln17+15×17﹣172=8ln17﹣34<0,
由單調*可得a1,a2,…,a16都大於0,a17<0,
則數列{an}的前n項和Sn最大時,n=16.
故選:B.
【點評】本題考查數列前n項和的最值,注意運用導數判斷單調*,考查運算能力,屬於中檔題.
知識點:數列
題型:選擇題
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