已知函式.（1）若函式，求的極值；（2）*：.（參考資料：     ）

問題詳情：

已知函式.

（1）若函式，求的極值；

（2）*：.

（參考資料：      ）

【回答】

【詳解】（1），，當，，

當，，在上遞增，在上遞減，在取得極大值，極大值為，無極大值.

（2）要*f（x）+1＜ex﹣x2．

即*ex﹣x2﹣xlnx﹣1＞0，

先*lnx≤x﹣1，取h（x）＝lnx﹣x+1，則h′（x）＝，

易知h（x）在（0，1）遞增，在（1，+∞）遞減，

故h（x）≤h（1）＝0，即lnx≤x﹣1，若且唯若x＝1時取“＝”，

故xlnx≤x（x﹣1），ex﹣x2﹣xlnx≥ex﹣2x2+x﹣1，

故只需*當x＞0時，ex﹣2x2+x﹣1＞0恆成立，

令k（x）＝ex﹣2x2+x﹣1，（x≥0），則k′（x）＝ex﹣4x+1，

令F（x）＝k′（x），則F′（x）＝ex﹣4，令F′（x）＝0，解得：x＝2ln2，

∵F′（x）遞增，故x∈（0，2ln2]時，F′（x）≤0，F（x）遞減，即k′（x）遞減，

x∈（2ln2，+∞）時，F′（x）＞0，F（x）遞增，即k′（x）遞增，

且k′（2ln2）＝5﹣8ln2＜0，k′（0）＝2＞0，k′（2）＝e2﹣8+1＞0，

由零點存在定理，可知∃x1∈（0，2ln2），∃x2∈（2ln2，2），使得k′（x1）＝k′（x2）＝0，

故0＜x＜x1或x＞x2時，k′（x）＞0，k（x）遞增，當x1＜x＜x2時，k′（x）＜0，k（x）遞減，故k（x）的最小值是k（0）＝0或k（x2），由k′（x2）＝0，得＝4x2﹣1，

k（x2）＝﹣2+x2﹣1＝﹣（x2﹣2）（2x2﹣1），∵x2∈（2ln2，2），∴k（x2）＞0，

故x＞0時，k（x）＞0，原不等式成立．

【點睛】本題考查了函式的單調*，極值問題，考查導數的應用以及不等式的*，考查轉化思想，屬於中檔題．

知識點：導數及其應用

題型：解答題