如圖，四稜錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點．             ...

問題詳情：

如圖，四稜錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點．               

(1) *：PB∥平面AEC               

(2) 設二面角D-AE-C為60°，AP=1，AD=，求三稜錐E-ACD的體積

【回答】

【解析】

試題分析：（Ⅰ）連線BD交AC於O點，連線EO，只要*EO∥PB，即可*PB∥平面AEC；（Ⅱ）延長AE至M連結DM，使得AM⊥DM，說明∠CMD=60°，是二面角的平面角，求出CD，即可三稜錐E-ACD的體積

試題解析：(1)*：連線BD交AC於點O，連線EO.

因為ABCD為矩形，所以O為BD的中點．

又E為PD的中點，所以EO∥PB.

因為EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，

所以PB∥平面AEC.

(2)因為PA⊥平面ABCD，ABCD為矩形，

所以AB，AD，AP兩兩垂直．

如圖，以A為座標原點，，AD，AP的方向為x軸y軸z軸的正方向，||為單位長，建立空間直角座標系A­xyz，則D，E，＝.

設B(m，0，0)(m>0)，則C(m，，0)，＝(m，，0)．

設n1＝(x，y，z)為平面ACE的法向量，

則即

可取n1＝.

又n2＝(1，0，0)為平面DAE的法向量，

由題設易知|cos〈n1，n2〉|＝，即

＝，解得m＝.

因為E為PD的中點，所以三稜錐E­ACD的高為.三稜錐E­ACD的體積V＝××××＝.

考點：二面角的平面角及求法；稜柱、稜錐、稜臺的體積；直線與平面平行的判定

知識點：空間幾何體

題型：解答題