已知函式f(x)＝＋lnx.(1)當a＝時，求f(x)在[1，e]上的最大值和最小值；(2)若函式g(x)＝f...

問題詳情：

已知函式f(x)＝＋ln x.

(1)當a＝時，求f(x)在[1，e]上的最大值和最小值；

(2)若函式g(x)＝f(x)－x在[1，e]上為增函式，求正實數a的取值範圍．

【回答】

 (1)當a＝時，f(x)＝＋ln x，

f′(x)＝，令f′(x)＝0，得x＝2，

∴當x∈[1,2)時，f′(x)<0，故f(x)在[1,2)上單調遞減；

當x∈(2，e]時，f′(x)>0，故f(x)在(2，e]上單調遞增，

故f(x)min＝f(2)＝ln 2－1.

又∵f(1)＝0，f(e)＝<0.

∴f(x)在區間[1，e]上的最大值f(x)max＝f(1)＝0.

綜上可知，函式f(x)在[1，e]上的最大值是0，最小值是ln 2－1.

(2)∵g(x)＝f(x)－x＝＋ln x－x，

∴g′(x)＝(a>0)，

設φ(x)＝－ax2＋4ax－4，由題意知，只需φ(x)≥0在[1，e]上恆成立即可滿足題意．

∵a>0，函式φ(x)的圖象的對稱軸為x＝2，

∴只需φ(1)＝3a－4≥0，即a≥即可．故正實數a的取值範圍為.

知識點：基本初等函式I

題型：解答題