已知數列{an}的前n項和為Sn，把滿足條件an＋1≤Sn(n∈N*)的所有數列{an}構成的*記為M． （...

問題詳情：

已知數列{an}的前n項和為Sn，把滿足條件an＋1≤Sn(n∈N*)的所有數列{an}構成的*記為M．

  （1）若數列{an}通項為an＝，求*：{an}∈M；

  （2）若數列{an}是等差數列，且{an＋n}∈M，求2a5－a1的取值範圍；

（3）若數列{an}的各項均為正數，且{an}∈M，數列{}中是否存在無窮多項依次成等差數列，若存在，給出一個數列{an}的通項；若不存在，說明理由．

【回答】

解:（1）因為an＝，所以Sn＝×＝1－()n，

所以an＋1－Sn＝()n＋1－1＋()n＝()n－1≤×－1＝－＜0，

所以an＋1＜Sn，即{an}∈M．                            ………………4分

（2）設{an}的公差為d，因為{an＋n}∈M，

所以an＋1＋n＋1≤(a1＋1)＋(a2＋2)＋…＋(an＋n) （*）

特別的當n＝1時，a2＋2≤a1＋1，即d≤－1，

由（*）得a1＋nd＋n＋1≤na1＋d＋，

整理得n2＋(a1－d－)n－a1－1≥0，

因為上述不等式對一切n∈N*恆成立，所以必有≥0，解得d≥－1，

又d≤－1，所以d＝－1，

於是(a1＋1)n－a1－1≥0，即(a1＋1)(n－1)≥0，所以a1＋1≥0，即a1≥－1，

所以2a5－a1＝2(a5－a1)＋a1＝8d＋a1＝－8＋a1≥－9，

因此2a5－a1的取值範圍是[－9，＋∞)．                  ………………10分

（3）由an＋1≤Sn得Sn＋1－Sn≤Sn，所以Sn＋1≤2Sn，即≤2，

所以＝××…×≤2n，從而有Sn＋1≤S1×2n＝a1×2n，     

又an＋1≤Sn，所以an＋2≤Sn＋1≤a1×2n，即an≤a1×2n－2(n≥3)，

又a2≤S1＝a1×22－2，a1＜a1×21－2，所以有an≤a1×2n－2(n∈N*)，所以≥×2n，

假設數列{}中存在無窮多項依次成等差數列，

不妨設該等差數列的第n項為dn＋b(b為常數)，

則存在m∈N，m≥n，使得dn＋b＝≥×2m≥×2n，即da1n＋ba1≥2n＋2，

設f (n)＝，n∈N*，n≥3， 則f (n＋1)－f (n)＝－＝＜0，

即f (n＋1)＜f (n)≤f (3)＝＜1，

於是當n≥3時，2n＋2＞n2，從而有：當n≥3時da1n＋ba1＞n2，即n2－da1n－ba1＜0，

於是當n≥3時，關於n的不等式n2－da1n－ba1＜0有無窮多個解，顯然不成立，

因此數列{}中是不存在無窮多項依次成等差數列．        ………………16分

知識點：數列

題型：解答題