已知函式f(x)=ax3+3x2-x+1在R上是減函式,求a的取值範圍.
問題詳情:
已知函式f(x)=ax3+3x2-x+1在R上是減函式,求a的取值範圍.
【回答】
解:f′(x)=3ax2+6x-1.
(1)當f′(x)<0(x∈R)時,f(x)是減函式.
3ax2+6x-1<0(x∈R)a<0且Δ=36+12a<0a<-3.
所以,當a<-3時,由f′(x)<0,知f(x)(x∈R)是減函式.
(2)當a=-3時,f(x)=-3x3+3x3-x+1=-3(x-)3+,由函式y=x3在R上的單調*,可知當a=-3時,f(x)(x∈R)是減函式.
(3)當a>-3時,在R上存在一個區間,其上有f′(x)>0,所以,當a>-3時,函式f(x)(x∈R)不是減函式.綜上,所求a的取值範圍是(-∞,-3].
知識點:導數及其應用
題型:解答題
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