已知正方體稜長為，如圖，為上的動點，平面.下面說法正確的是（   ）A．直線與平面所成角的正弦值範圍為B．點與...

問題詳情：

已知正方體稜長為，如圖，為上的動點，平面.下面說法正確的是（    ）

A．直線與平面所成角的正弦值範圍為

B．點與點重合時，平面截正方體所得的截面，其面積越大，周長就越大

C．點為的中點時，若平面經過點，則平面截正方體所得截面圖形是等腰梯形

D．己知為中點，當的和最小時，為的中點

【回答】

AC

【解析】

【分析】

以點為座標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角座標系，利用空間向量法可判斷A選項的正誤；*出平面，分別取稜、、、、、的中點、、、、、，比較和六邊形的周長和麵積的大小，可判斷B選項的正誤；利用空間向量法找出平面與稜、的交點、，判斷四邊形的形狀可判斷C選項的正誤；將矩形與矩形延展為一個平面，利用、、三點共線得知最短，利用平行線分線段成比例定理求得，可判斷D選項的正誤.

【詳解】

對於A選項，以點為座標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角座標系，則點、、設點，

平面，則為平面的一個法向量，且，，

，

所以，直線與平面所成角的正弦值範圍為，A選項正確；

對於B選項，當與重合時，連線、、、，

在正方體中，平面，平面，，

四邊形是正方形，則，，平面，

平面，，同理可*，

，平面，

易知是邊長為的等邊三角形，其面積為，周長為.

設、、、、、分別為稜、、、、、的中點，

易知六邊形是邊長為的正六邊形，且平面平面，

正六邊形的周長為，面積為，

則的面積小於正六邊形的面積，它們的周長相等，B選項錯誤；

對於C選項，設平面交稜於點，點，，

平面，平面，，即，得，，

所以，點為稜的中點，同理可知，點為稜的中點，則，，

而，，且，

由空間中兩點間的距離公式可得，，，

所以，四邊形為等腰梯形，C選項正確；

對於D選項，將矩形與矩形延展為一個平面，如下圖所示：

若最短，則、、三點共線，

，，

，所以，點不是稜的中點，D選項錯誤.

故選：AC.

【點睛】

本題考查線面角正弦值的取值範圍，同時也考查了平面截正方體的截面問題以及折線段長的最小值問題，考查空間想象能力與計算能力，屬於難題.

知識點：空間中的向量與立體幾何

題型：選擇題