已知：二次函式y=ax2﹣2x+c的圖象與x於A、B，A在點B的左側），與y軸交於點C，對稱軸是直線x=1，平...

問題詳情：

已知：二次函式y=ax2﹣2x+c的圖象與x於A、B，A在點B的左側），與y軸交於點C，對稱軸是直線x=1，平移一個單位後經過座標原點O

（1）求這個二次函式的解析式；

（2）直線交y軸於D點，E為拋物線頂點．若∠DBC=α，∠CBE=β，求α﹣β的值；

（3）在（2）問的前提下，P為拋物線對稱軸上一點，且滿足PA=PC，在y軸右側的拋物線上是否存在點M，使得△BDM的面積等於PA2？若存在，求出點M的座標；若不存在，請說明理由．

【回答】

解：（1）由題意，A（﹣1，0），

∵對稱軸是直線x=1，

∴B（3，0）；（1分）

把A（﹣1，0），B（3，0）分別代入y=ax2﹣2x+c

得；（2分）

解得．

∴這個二次函式的解析式為y=x2﹣2x﹣3．

（2）∵直線與y軸交於D（0，1），

∴OD=1，

由y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4得E（1，﹣4）；

連線CE，過E作EF⊥y軸於F（如圖1），則EF=1，

∴OC=OB=3，CF=1=EF，

∴∠OBC=∠OCB=∠45°，

BC==，

；

∴∠BCE=90°=∠BOD，，

，

∴，

∴△BOD∽△BCE，（6分）

∴∠CBE=∠DBO，

∴α﹣β=∠DBC﹣∠CBE=∠DBC﹣∠DBO=∠OBC=45°．（7分）

（3）設P（1，n），

∵PA=PC，

∴PA2=PC2，即（1+1）2+（n﹣0）2=（1+0）2+（n+3）2

解得n=﹣1，

∴PA2=（1+1）2+（﹣1﹣0）2=5，

∴S△EDW=PA2=5；（8分）

法一：設存在符合條件的點M（m，m2﹣2m﹣3），則m＞0，

①當M在直線BD上側時，連線OM（如圖1），

則S△BDM=S△OBM+S△ODM﹣S△BOD=5，

即，

，

整理，得3m2﹣5m﹣22=0，

解得m1=﹣2（捨去），，

把代入y=m2﹣2m﹣3得；

∴；（10分）

②當M在直線BD下側時，不妨叫M1，連線OM1（如圖1），

則S△BDM1=S△BOD+S△BOM1﹣S△DOM1=5，

即，

，

整理，得3m2﹣5m﹣2=0，

解得，（捨去）

把m=2代入y=m2﹣2m﹣3得y=﹣3，

∴M1（2，﹣3）；

綜上所述，存在符合條件的點M，其座標為或（2，﹣3）．（12分）

法二：設存在符合條件的點M（m，m2﹣2m﹣3），則m＞0，

①當M在直線BD上側時，過M作MG∥y軸，

交DB於G；（如圖2）

設D、B到MG距離分別為h1，h2，則

S△BDM=S△DMG﹣S△BMG=5，

即，

，

，

整理，得3m2﹣5m﹣22=0；

解得m1=﹣2（捨去），；

把代入y=m2﹣2m﹣3

得；

∴．（10分）

②當M在直線BD下側時，不妨叫M1，過M1作M1G1∥y軸，交DB於G1（如圖2）

設D、B到M1G1距離分別為h1、h2，則S△BDM=S△DM1G1+S△BM1G1=5，

即，

，

，

整理，得3m2﹣5m﹣2=0，

解得，（捨去）

把m=2代入y=m2﹣2m﹣3得y=﹣3，

∴M1（2，﹣3）；

綜上所述，存在符合條件的點M，其座標為或（2，﹣3）．（12分）

法三：①當M在直線BD上側時，過M作MH∥BD，交y軸於H，連線BH；（如圖3）

則S△DHB=S△BDM=5，

即，，

∴DH=，

∴；

∴直線MH解析式為；

聯立

得或；

∵M在y軸右側，

∴M座標為．（10分）

②當M在直線BD下側時，不妨叫M1，過M1作M1H1∥BD，交y軸於H1，

連線BH1（如圖3），同理可得，

∴，

∴直線M1H1解析式為，

聯立

得或；

∵M1在y軸右側，

∴M1座標為（2，﹣3）

綜上所述，存在符合條件的點M，其座標為或（2，﹣3）．（12分）

知識點：二次函式與一元二次方程

題型：解答題