如圖，是⊙O的直徑，是⊙O的切線，交⊙O於點E．（1）若D為的中點，*：是⊙O的切線；（2）若，，求⊙O的半...

問題詳情：

如圖，是⊙O的直徑，是⊙O的切線，交⊙O於點E．

（1）若D為的中點，*：是⊙O的切線；

（2）若，，求⊙O的半徑的長．

【回答】

（1）*見解析；（2）⊙O的半徑的長為4

【解析】（1）連線AE和OE，由直角三角形的*質和圓周角定理易得∠OED=90°，可得DE是⊙O的切線；

（2）在Rt△ACE中求得AE的長，*得Rt△ABERt△CAE，利用對應邊成比例即可求解．

【詳解】（1）連線AE，OE，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠AEB=90°，

∵AC是圓⊙O的切線， ∴AC⊥AB， 在直角△AEC中， ∵D為AC的中點， ∴DE=DC=DA，

∴∠DEA=∠DAE， ∵OE=OA，

∴∠OEA=∠OAE，

∵∠DAE+∠OAE=90°， ∴∠DEA+∠OEA=∠DEO=90°，

∴OE⊥DE， ∴DE 是⊙O的切線；

（2）∵AB是⊙O的直徑，

∴∠AEB=∠AEC=90°，

在Rt△ACE中， CA=6， CE=3.6=，

∴AE=，

∴∠B+∠EAB=90°，

∵∠CAE+∠EAB=90°，

∴∠B=∠CAE，

∴Rt△ABERt△CAE，

∴，即，

∴， ∴⊙O的半徑OA=．

【點睛】本題考查了切線的判定、相似三角形的判定和*質以及勾股定理的應用，掌握切線的判定定理、相似三角形的判定定理和*質定理是解題的關鍵．

知識點：相似三角形

題型：解答題