如圖，△ABC為⊙O的內接三角形，AB為⊙O的直徑，過點A作⊙O的切線交BC的延長線於點D．（1）求*：△DA...

問題詳情：

如圖，△ABC為⊙O的內接三角形，AB為⊙O的直徑，過點A作⊙O的切線交BC的延長線於點D．

（1）求*：△DAC∽△DBA；

（2）過點C作⊙O的切線CE交AD於點E，求*：CE=AD；

（3）若點F為直徑AB下方半圓的中點，連線CF交AB於點G，且AD=6，AB=3，求CG的長．

【回答】

解：（1）∵AB是⊙O直徑，

∴∠ACD=∠ACB=90°，

∵AD是⊙O的切線，

∴∠BAD=90°，

∴∠ACD=∠DAB=90°，

∵∠D=∠D，

∴△DAC∽△DBA；

（2）∵EA，EC是⊙O的切線，

∴AE=CE（切線長定理），

∴∠DAC=∠ECA，

∵∠ACD=90°，

∴∠ACE+∠DCE=90°，∠DAC+∠D=90°，

∴∠D=∠DCE，

∴DE=CE，

∴AD=AE+DE=CE+CE=2CE，

∴CE=AD；

（3）如圖，在Rt△ABD中，AD=6，AB=3，

∴tan∠ABD==2，

過點G作GH⊥BD於H，

∴tan∠ABD==2，

∴GH=2BH，

∵點F是直徑AB下方半圓的中點，

∴∠BCF=45°，

∴∠CGH=∠CHG﹣∠BCF=45°，

∴CH=GH=2BH，

∴BC=BH+CH=3BH，

在Rt△ABC中，tan∠ABC==2，

∴AC=2BC，

根據勾股定理得，AC2+BC2=AB2，

∴4BC2+BC2=9，

∴BC=，

∴3BH=，

∴BH=，

∴GH=2BH=，

在Rt△CHG中，∠BCF=45°，

∴CG=GH=．

知識點：各地會考

題型：解答題