問題發現如圖1，△ABC是等腰直角三角形，四邊形ADEF是正方形，點D、F分別在邊AB、AC上，請直接寫出線段...

問題詳情：

問題發現

如圖1，△ABC是等腰直角三角形，四邊形ADEF是正方形，點D、F分別在邊AB、AC上，請直接寫出線段BD、CF的數量和位置關係；

（2）拓展探究

如圖2，當正方形ADEF繞點A逆時針旋轉個銳角θ時，上述結論還成立嗎？若成立，請給予*；若不成立，請說明理由；

（3）解決問題

如圖3，在（2）的條件下，延長BD交直線CF於點G．當AB=3，AD=，θ=45°時，直接寫出線段BG的長．

【回答】

解：（1）BD=CF，BD⊥CF，理由如下：

∵△ABC是等腰直角三角形，四邊形ADEF是正方形，

∴AB=AC，AD=AF，∠BAC=∠DAF=90°，

∴BD=CF，BD⊥CF；

（2）成立，理由如下：

∵△ABC是等腰直角三角形，四邊形ADEF是正方形，

∴AB=AC，AD=AF，∠BAC=∠DAF=90°，

∵∠BAD=∠BAC﹣∠DAC，∠CAF=∠DAF﹣∠DAC，

∴∠BAD=∠CAF，

在△BAD與△CAF中，

，

∴△BAD≌△CAF（SAS），

∴BD=CF，

延長BD，分別交直線AC、CF於點M，G，如圖2，

∵△BAD≌△CAF，

∴∠ABM=∠GCM，

∵∠BMA=∠CMG，

∴∠BGC=∠BAC=90°，

∴BD⊥CF；

（3）由旋轉和正方形的*質可得：當θ=45°時，點E恰好落在AC上，

∵AD=，

∴AE=2，

設BG交AC於點M，過點F作FN⊥AC於點N，如圖3，則AN=FN=AE=1，

∵在等腰直角三角形ABC中，AB=3，

∴CN=AC﹣AN=2，BC=，

在Rt△FCN中，tan∠FCN=，

∴在Rt△ABM中，tan∠ABM=，

∴AM=，[來源:學科網ZXXK]

CM=AC﹣AM=，BM=，

∵△BMA∽△CMG，

∴，

∴，

∴CG=，

∴在Rt△BGC中，BG=．

知識點：圖形的旋轉

題型：綜合題