．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點D與點B在AC同側，∠DAC＞∠BAC，且DA=DC，過點B作BE∥D...

問題詳情：

．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點D與點B在AC同側，∠DAC＞∠BAC，且DA=DC，過點B作BE∥DA交DC於點E，M為AB的中點，連線MD，ME．

（1）如圖1，當∠ADC=90°時，線段MD與ME的數量關係是　   　；

（2）如圖2，當∠ADC=60°時，試探究線段MD與ME的數量關係，並*你的結論；

（3）如圖3，當∠ADC=α時，求的值．

【回答】

【考點】SO：相似形綜合題．

【分析】（1）先判斷出△AMF≌△BME，得出AF=BE，MF=ME，進而判斷出∠EBC=∠BED﹣∠ECB=45°=∠ECB，得出CE=BE，即可得出結論；

（2）同（1）的方法即可；

（3）同（1）的方法判斷出AF=BE，MF=ME，再判斷出∠ECB=∠EBC，得出CE=BE即可得出∠MDE=，即可得出結論

【解答】解：（1）如圖1，延長EM交AD於F，

∵BE∥DA，

∴∠FAM=∠EBM，

∵AM=BM，∠AMF=∠BME，

∴△AMF≌△BME，

∴AF=BE，MF=ME，

∵DA=DC，∠ADC=90°，

∴∠BED=∠ADC=90°，∠ACD=45°，

∵∠ACB=90°，

∴∠ECB=45°，

∴∠EBC=∠BED﹣∠ECB=45°=∠ECB，

∴CE=BE，

∴AF=CE，

∵DA=DC，

∴DF=DE，

∴DM⊥EF，DM平分∠ADC，

∴∠MDE=45°，

∴MD=ME，

故*為MD=ME；

（2）MD=ME，理由：

如圖2，延長EM交AD於F，

∵BE∥DA，

∴∠FAM=∠EBM，

∵AM=BM，∠AMF=∠BME，

∴△AMF≌△BME，

∴AF=BE，MF=ME，

∵DA=DC，∠ADC=60°，

∴∠BED=∠ADC=60°，∠ACD=60°，

∵∠ACB=90°，

∴∠ECB=30°，

∴∠EBC=∠BED﹣∠ECB=30°=∠ECB，

∴CE=BE，

∴AF=CE，

∵DA=DC，

∴DF=DE，

∴DM⊥EF，DM平分∠ADC，

∴∠MDE=30°，

在Rt△MDE中，tan∠MDE=，

∴MD=ME．

（3）如圖3，延長EM交AD於F，

∵BE∥DA，

∴∠FAM=∠EBM，

∵AM=BM，∠AMF=∠BME，

∴△AMF≌△BME，

∴AF=BE，MF=ME，

延長BE交AC於點N，

∴∠BNC=∠DAC，

∵DA=DC，

∴∠DCA=∠DAC，

∴∠BNC=∠DCA，

∵∠ACB=90°，

∴∠ECB=∠EBC，

∴CE=BE，

∴AF=CE，

∴DF=DE，

∴DM⊥EF，DM平分∠ADC，

∵∠ADC=α，

∴∠MDE=，

在Rt△MDE中， =tan∠MDE=tan．

知識點：各地會考

題型：解答題