如圖，等邊中，AB=6，點D在BC上，BD=4，點E為邊AC上一動點（不與點C重合），關於DE的軸對稱圖形為....

問題詳情：

如圖，等邊中，AB=6，點D在BC上，BD=4，點E為邊AC上一動點（不與點C重合），關於DE的軸對稱圖形為.

（1）當點F在AC上時，求*：DF//AB；

（2）設的面積為S1，的面積為S2，記S=S1-S2，S是否存在最大值？若存在，求出S的最大值；若不存在，請說明理由；

（3）當B，F，E三點共線時。求AE的長。

【回答】

（1）見解析；（2）存在最大值，最大值為；（3）.

【解析】

（1）由摺疊的*質和等邊三角形的*質可得∠DFC=∠A，可*DF∥AB；

（2）過點D作DM⊥AB交AB於點M，由題意可得點F在以D為圓心，DF為半徑的圓上，由△ACD的面積為S1的值是定值，則當點F在DM上時，S△ABF最小時，S最大；

（3）過點D作DG⊥EF於點G，過點E作EH⊥CD於點H，由勾股定理可求BG的長，通過*△BGD∽△BHE，可求EC的長，即可求AE的長．

【詳解】

解：（1）∵△ABC是等邊三角形，

∴∠A=∠B=∠C=60°，

由摺疊可知：DF=DC，且點F在AC上，

∴∠DFC=∠C=60°，

∴∠DFC=∠A，

∴DF∥AB；

（2）存在，如圖，

過點D作DM⊥AB交AB於點M，

∵AB=BC=6，BD=4，∴CD=2，∴DF=2，

∴點F在以D為圓心，DF為半徑的圓上，

∴當點F在DM上時，S△ABF最小，

∵BD=4，DM⊥AB，∠ABC=60°，

∴MD=2 ，

∴S△ABF的最小值= ，

∴S最大值=.

（3）如圖，過點作於點G，過點E作EH⊥CD於點H，

∵△CDE關於DE的軸對稱圖形為△FDE，

∴DF=DC=2，∠EFD=∠C=60°，

∵GD⊥EF，∠EFD=60°，

∴FG=1，DG=FG=，

∵BD2=BG2+DG2，

∴16=3+（BF+1）2，

∴BF=-1，

∴BG=，

∵EH⊥BC，∠C=60°，

∴CH=，EH=HC=,

∵∠GBD=∠EBH，∠BGD=∠BHE=90°，

∴△BGD∽△BHE，

∴，

∴,

∴EC=

∴AE=AC-EC=

【點睛】

本題是三角形綜合題，考查了等邊三角形的*質，摺疊的*質，勾股定理，相似三角形的判定和*質，熟練掌握是解題的關鍵.

知識點：解直角三角形與其應用

題型：解答題